橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.根據(jù)幾何條件求出橢圓的方程．

B. 進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用;

C.會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．

1.數(shù)學(xué)抽象：橢圓的幾何性質(zhì)

2.邏輯推理：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：直線與橢圓位置關(guān)系的判斷

4.數(shù)學(xué)建模：利用橢圓的知識(shí)解決應(yīng)用問題

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、溫故知新

橢圓的幾何性質(zhì)

二、典例解析

例5. 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對(duì)稱軸的截口 ABC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位另一個(gè)焦點(diǎn)上，由橢圓一個(gè)焦點(diǎn) 發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)橢圓焦點(diǎn)，已知 ，=2.8cm, =4.5cm,試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求截口ABC所在的橢圓方程(精確到0.1cm)

典例解析

解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為

(>>0)

在Rt 中,

有橢圓的性質(zhì) , =2

所以所求橢圓方程為

利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路

1．利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：

(1)確定焦點(diǎn)位置；

(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；

(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b²＝a²－c²等．

跟蹤訓(xùn)練1．(1)若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

B [由題意，得解得

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.]

例6．動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的軌跡。

【解析】如圖，設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是集合

， 由此得

將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得

即：

例7. 已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：

(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)沒有公共點(diǎn)．

[思路探究] →

→→得出結(jié)論

[解] 直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組消去y，得9x²＋8mx＋2m²－4＝0 ①.

方程①的判別式Δ＝(8m)²－49(2m²－4)＝－8m²＋144.

(1)當(dāng)Δ＞0，即－3＜m＜3時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)．

(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝3時(shí)，方程①有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

(3)當(dāng)Δ＜0，即m＜－3或m＞3時(shí)，方程①沒有實(shí)數(shù)解，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．

代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系

判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個(gè)變量，得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，則

Δ>0?直線與橢圓相交；

Δ＝0?直線與橢圓相切；

Δ<0?直線與橢圓相離．

提醒：注意方程組的解與交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系．

2．若直線y＝kx＋1(k∈R)與橢圓＋＝1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

[解] 因?yàn)?/span>y＝kx＋1(k∈R)恒過點(diǎn)(0,1)，則點(diǎn)(0,1)在橢圓＋＝1內(nèi)或橢圓上時(shí)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以≤1，即m≥1.

當(dāng)m＝5時(shí)，＋＝1不是橢圓，它是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓．因此，m的取值范圍為[1,5)∪(5，＋∞)．

通過知識(shí)回顧，和高考真題的解析，幫助學(xué)生歸納題型，形成基本解題思路。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，歸納基本題型，幫助學(xué)生形成基本解題思路，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題，掌握根據(jù)橢圓的基本幾何性質(zhì)及其簡(jiǎn)單運(yùn)用，了解橢圓的第二定義，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)與橢圓＋＝1有相同的長(zhǎng)軸，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)與＋＝1的短軸長(zhǎng)相等，則( )

A．a²＝15，b²＝16 B．a²＝9，b²＝25

C．a²＝25，b²＝9或a²＝9，b²＝25 D．a²＝25，b²＝9

【答案】D

[由題意得，橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，且a²＝25，b²＝9.]

2．若點(diǎn)P(a,1)在橢圓＋＝1的外部，則a的取值范圍為( )

A． B．∪

C． D．

B [由題意知＋>1，即a²>，解得a>或a<－.]

3．（2018全國(guó)高考）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為（ ）

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，可知，因?yàn)?/span>，所以，即，

所以橢圓的離心率為，故選C.

4．（2019全國(guó)高考）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F₂的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為

【答案】B

【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．

所求橢圓方程為，故選B．

法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得

所求橢圓方程為，故選B．

5．橢圓x²＋4y²＝16被直線y＝x＋1截得的弦長(zhǎng)為________．

[由

消去y并化簡(jiǎn)得x²＋2x－6＝0.

設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝－2，x₁x₂＝－6.

∴弦長(zhǎng)|MN|＝|x₁－x₂|＝＝＝.]

6．設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)．

[解] (1)將(0,4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4.

由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，

∴橢圓C的方程為＋＝1.

(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)．

設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

將直線AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，

得＋＝1，即x²－3x－8＝0，

則x₁＋x₂＝3，∴＝，＝(x₁＋x₂－6)＝－，

即中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。