拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握拋物線的幾何性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．

B.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問(wèn)題．

C. 掌握拋物線中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題．

1.數(shù)學(xué)抽象：拋物線的幾何性質(zhì)

2.邏輯推理：運(yùn)用拋物線的性質(zhì)平行

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：拋物線中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題

4.直觀想象：拋物線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

二、直線與拋物線的位置關(guān)系

設(shè)直線l:y=kx+m,拋物線:y²=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k²x²+2(km-p)x+m²=0.

(1)若k≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)Δ=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)切點(diǎn);

當(dāng)Δ<0時(shí),直線與拋物線相離,沒(méi)有公共點(diǎn).

(2)若k=0,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

二、典例解析

例5.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物

線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線

的對(duì)稱軸．

【分析】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²＝2px（p＞0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線OA的方程為：＝＝，

可得y_D＝．設(shè)直線AB的方程為：my＝x﹣，與拋物線的方程聯(lián)立化為y²﹣2pm﹣p²＝0，

利用根與系數(shù)的關(guān)系可得．可得y_D＝y(tǒng)₂．即可證明．

【解答】證明：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²＝2px（p＞0）．

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)直線AB的方程為：my＝x﹣，

聯(lián)立，化為y²﹣2pm﹣p²＝0，

∴．∴．∴y_D＝y(tǒng)₂．

∴直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸．例6. 如圖，已知定點(diǎn)B軸于點(diǎn), 是線段上任意一點(diǎn),軸于點(diǎn), 于點(diǎn),相交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)的軌跡方程。

解：設(shè)點(diǎn)P , M ,其中則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)滿足

直線OE的方程為③

因?yàn)辄c(diǎn)P在OE上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo) 滿足③

將代入③，消去得，

即P點(diǎn)的軌跡方程。

例6中，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為A，則方程

對(duì)應(yīng)的軌跡是常見(jiàn)的拋物拱AOB.拋物拱在現(xiàn)實(shí)生活中有許多原型，如橋拱、衛(wèi)星接收天線等，拋擲出的鉛球在天空中劃過(guò)的軌跡也是拋物拱一部分。

例7. 已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(1,0),且與直線x=-1相切,設(shè)動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程.

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線l₁,l₂分別與曲線C交于A,B兩點(diǎn),直線l₁,l₂的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ).證明:直線AB的斜率為定值.

思路分析:(1)由拋物線的定義可知E的軌跡為以D為焦點(diǎn),以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線;

(2)設(shè)l₁,l₂的方程,聯(lián)立方程組消元解出A,B的坐標(biāo),代入斜率公式計(jì)算k_AB.

(1)解:∵動(dòng)圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(1,0),且與直線x=-1相切,

∴E到點(diǎn)D(1,0)的距離等于E到直線x=-1的距離,

∴E的軌跡是以D(1,0)為焦點(diǎn),以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.

∴曲線C的方程為y²=4x.

(2)證明:設(shè)直線l₁的方程為y=k(x-1)+2.

∵直線l₁,l₂的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ),

∴l₂的方程為y=-k(x-1)+2.

聯(lián)立得方程組消元得k²x²-(2k²-4k+4)x+(k-2)²=0.

設(shè)A(x₁,y₁),則x₁=.

同理,設(shè)B(x₂,y₂),可得x₂=,

∴x₁+x₂=,x₁-x₂=.

∴y₁-y₂=[k(x₁-1)+2]-[-k(x₂-1)+2]=k(x₁+x₂)-2k=-2k=.

∴k_AB==-1.

∴直線AB的斜率為定值-1.

定值與定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略

1.欲證某個(gè)量為定值,先將該量用某變量表示,通過(guò)變形化簡(jiǎn)若能消掉此變量,即證得結(jié)論,所得結(jié)果即為定值.

2.尋求一條直線經(jīng)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)的常用方法:(1)通過(guò)方程判斷;(2)對(duì)參數(shù)取幾個(gè)特殊值探求定點(diǎn),再證明此點(diǎn)在直線上;(3)利用曲線的性質(zhì)(如對(duì)稱性等),令其中一個(gè)變量為定值,再求出另一個(gè)變量為定值;(4)轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的斜率相等或向量平行等.

跟蹤訓(xùn)練1. 已知拋物線的方程是y²=4x,直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

(1)若弦AB的中點(diǎn)為(3,3),求直線l的方程;

(2)若y₁y₂=-12,求證:直線l過(guò)定點(diǎn).

解:(1)因?yàn)閽佄锞€的方程為y²=4x,則有=4x₁,=4x₂,因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為(3,3),所以x₁≠x₂.

兩式相減得=4x₁-4x₂,

所以,

所以直線l的方程為y-3=(x-3),即y=x+1.

(2)當(dāng)l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y=kx+b,代入拋物線方程,整理,得ky²-4y+4b=0,y₁y₂==-12,b=-3k,

l的方程為y=kx-3k=k(x-3),過(guò)定點(diǎn)(3,0).

當(dāng)l的斜率不存在時(shí),y₁y₂=-12,則x₁=x₂=3,l過(guò)定點(diǎn)(3,0).

綜上,l過(guò)定點(diǎn)(3,0).

通過(guò)，回顧拋物線的幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，幫助學(xué)生整理知識(shí)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典例解析，綜合運(yùn)用拋物線幾何性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典型例題，提升學(xué)生綜合運(yùn)用能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

通過(guò)典型例題，幫助學(xué)生掌握拋物線中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．若拋物線y²＝2x上有兩點(diǎn)A，B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為( )

A． B． C． D．

【答案】A [線段AB所在的直線的方程為x＝1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則焦點(diǎn)到直線AB的距離為1－＝.]

2．若直線x－y＝2與拋物線y²＝4x交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是________.

【答案】(4,2) [由得x²－8x＋4＝0，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝8，y₁＋y₂＝x₁＋x₂－4＝4，故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)．]

3．設(shè)直線y＝2x＋b與拋物線y²＝4x交于A，B兩點(diǎn)，已知弦AB的長(zhǎng)為3，求b的值．

【答案】由消去y，得4x²＋4(b－1)x＋b²＝0.

由Δ＞0，得b＜.設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

則x₁＋x₂＝1－b，x₁x₂＝.

∴|x₁－x₂|＝＝.

∴|AB|＝|x₁－x₂|＝＝3，∴1－2b＝9，即b＝－4.

4.過(guò)拋物線的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦交拋物線于A、B兩點(diǎn)。

(1)求證:A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積,縱坐標(biāo)之積分別為定值

(2)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；

解：設(shè)A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），中點(diǎn)P（x₀,y₀）

∵ OA⊥OB

∴ k_OAk_OB=-1∴ x₁x₂+y₁y₂=0

∵ y₁²=2px₁，

y₂²=2px₂∴

∵ y₁≠0，y₂≠0

∴ y₁y₂=-4p² ∴ x₁x₂=4p²

⑵∵y₁²=2px₁,y₂²=2px₂∴（y₁-y₂）(y₁+y₂)=2p(x₁-x₂)

∴ AB過(guò)定點(diǎn)（2p,0）.

5.如圖,已知直線l:y=2x-4交拋物線y²=4x于A,B兩點(diǎn),試在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P,使△PAB的面積最大,并求出這個(gè)最大面積.

思路分析:先求出弦長(zhǎng)|AB|,再求出點(diǎn)P到直線AB的距離,從而可表示出△PAB的面積,再求最大值即可.

解:由解得

∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3.

(方法1)設(shè)P(x₀,y₀)為拋物線AOB這段曲線上一點(diǎn),d為點(diǎn)P到直線AB的距離,

則有d=|(y₀-1)²-9|.

∵-20<4,∴(y₀-1)²-9<0.

∴d=[9-(y₀-1)²].

從而當(dāng)y₀=1時(shí),d_max=,S_max=3.

因此,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),△PAB的面積取得最大值,最大面積為.

(方法2)由解得

∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4t²,4t),

∵點(diǎn)P(4t²,4t)在拋物線AOB這段曲線上,∴-2<4t<4,得-

由題意得點(diǎn)P(4t²,4t)到直線AB的距離d=.

∵當(dāng)t∈時(shí),2<0,

∴d=,

∴當(dāng)t=時(shí),d_max=.

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,S_△PAB的最大值為|AB|d_max=3.

(方法3)設(shè)y=2x+m是拋物線y²=4x的切線方程.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。