雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(2)教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．

B. 雙曲線方程的簡單應(yīng)用．

C. 理解直線與雙曲線的位置關(guān)系.

1.數(shù)學(xué)抽象：雙曲線的幾何性質(zhì)

2.邏輯推理：類比直線與橢圓位置關(guān)系，掌握直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷及弦長

4.直觀想象：雙曲線的幾何性質(zhì)

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問題導(dǎo)學(xué)

雙曲線的幾何性質(zhì)

(1)雙曲線與橢圓的六個(gè)不同點(diǎn):

二、典例解析

例4．如圖，雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分，已知塔的總高度為137.5m，塔頂直徑為90m，塔的最小直徑(喉部直徑)為60m，喉部標(biāo)高112.5m，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（精確到1m）

解:設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖所示：

為喉部直徑，故，故雙曲線方程為.

而的橫坐標(biāo)為塔頂直徑的一半即，

其縱坐標(biāo)為塔的總高度與喉部標(biāo)高的差即，

故，

故，所以，

故雙曲線方程為.

例5．已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線l:的距離的比是，則點(diǎn)的軌跡方程為?

解：設(shè)點(diǎn)，由題知

即.整理得：

請你將例5與橢圓一節(jié)中的例6比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

例6、 過雙曲線的右焦點(diǎn)F2,傾斜角為30度的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),求|AB|.

分析:求弦長問題有兩種方法:

法一:如果交點(diǎn)坐標(biāo)易求,可直接用兩點(diǎn)間距離公式代入求弦長;

法二:但有時(shí)為了簡化計(jì)算,常設(shè)而不求,運(yùn)用韋達(dá)定理來處理.

解：由雙曲線的方程得，兩焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F2(3,0).因?yàn)橹本€AB的傾斜角是30，且直線經(jīng)過右焦點(diǎn)F2，所以，直線AB的方程為

直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法

1．方程思想的應(yīng)用

把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．

(1)Δ>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．

(2)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．

(3)Δ<0時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)．

當(dāng)a＝0時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)

歸納總結(jié)

2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

(1)直線過定點(diǎn)時(shí)，根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系．

(2)直線斜率一定時(shí)，通過平行移動直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系．

提醒：利用判別式來判斷直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的前提是通過消元化為一元二次方程

跟蹤訓(xùn)練1 已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1，

(1)若直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)若直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為，求實(shí)數(shù)k的值．

[思路探究] 直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組?判斷“Δ”與“0”的關(guān)系?直線與雙曲線的位置關(guān)系．

[解] (1)聯(lián)立方程組

消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.

∵直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則

解得－＜k＜，且k≠1.

∴若l與C有兩個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為

(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

對于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－，

x1x2＝－，

∴|AB|＝|x1－x2|＝

又∵點(diǎn)O(0,0)到直線y＝kx－1的距離d＝，

∴S△AOB＝|AB|d＝＝，

即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝.

∴實(shí)數(shù)k的值為或0.

回顧雙曲線的幾何性質(zhì)，提出運(yùn)用幾何性質(zhì)解決雙曲線的有關(guān)問題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，理解直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法，及求弦長問題的基本解題思路，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)

三、達(dá)標(biāo)檢測

1．已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝( )

A．2 B． C． D．1

【答案】D [由題意得e＝＝2，∴＝2a，

∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.]

2．若一雙曲線與橢圓4x2＋y2＝64有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程為( )

A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36

C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36

【答案】A [橢圓4x2＋y2＝64，即＋＝1，焦點(diǎn)為(0，4)，離心率為，則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，c＝4，e＝，從而a＝6，b2＝12，故所求雙曲線的方程為y2－3x2＝36.]

3．直線y＝mx＋1與雙曲線x2－y2＝1有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( )

A．m≥或m≤－ B．－≤m≤且m≠0

C．m∈R D．－≤m≤

【答案】D [由得(1－m2)x2－2mx－2＝0，

由題意知1－m2＝0，或

解得－≤m≤.]

4．如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100，俯視圖為三個(gè)同心圓，其半徑分別40，，30，試根據(jù)上述尺寸計(jì)算視圖中該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（為長度單位米）；

【解析】最窄處即雙曲線兩頂點(diǎn)間 ，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

由題意知：當(dāng)（地面半徑）時(shí)對應(yīng)的值是；

當(dāng)時(shí)，的值為

，解得：

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，

5．已知雙曲線－y2＝1，求過點(diǎn)A (3，－1)且被點(diǎn)A平分的弦MN所在直線的方程.

[解] 法一 由題意知直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為y＋1＝k(x－3)，

即y＝kx－3k－1，由消去y，

整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

∴x1＋x2＝.∵A(3，－1)為MN的中點(diǎn)，

∴＝3，即＝3，解得k＝－.

當(dāng)k＝－時(shí)，滿足Δ>0，符合題意，

∴所求直線MN的方程為y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.

法二 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

∵M(jìn)，N均在雙曲線上，∴

兩式相減，得＝y(tǒng)－y，

∴＝.

∵點(diǎn)A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.

∴kMN＝＝＝－.

經(jīng)驗(yàn)證，該直線MN存在．

∴所求直線MN的方程為y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。