橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對(duì)稱性和特殊點(diǎn)等。

二、探究新知

觀察橢圓（>>0 ）的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？

觀察圖，我們發(fā)現(xiàn)，不同橢圓的扁平程度不同，扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍?huà)橢圓的扁平程度嗎？

思考1. 離心率對(duì)橢圓扁圓程度的影響?

提示:如圖所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,記e=,則0

橢圓的幾何性質(zhì)

1.判斷

(1)橢圓=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是a.( )

(2)若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)分別為10,8,則橢圓的方程為=1.( )

(3)設(shè)F為橢圓=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),M為其上任一點(diǎn),則|MF|的最大值為a+c(c為橢圓的半焦距).( )

答案:(1) (2) (3)√

2.已知橢圓C:=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為( )

解析:∵a2=4+22=8,∴a=2.∴e=.故選C.

答案:C

三、典例解析

例1已知橢圓C1:=1,設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等,且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上.

(1)求橢圓C1的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率;

(2)寫(xiě)出橢圓C2的方程,并研究其性質(zhì).

解:(1)由橢圓C1:=1,可得其半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,半短軸長(zhǎng)為8,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),(-6,0),離心率e=.

(2)橢圓C2:=1.性質(zhì)如下:

①范圍:-8≤x≤8且-10≤y≤10;②對(duì)稱性:關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱;③頂點(diǎn):長(zhǎng)軸端點(diǎn)(0,10),(0,-10),短軸端點(diǎn)(-8,0),(8,0);④焦點(diǎn):(0,6),(0,-6);⑤離心率:e=.

討論橢圓的幾何性質(zhì)時(shí),一定要將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,標(biāo)準(zhǔn)方程能將參數(shù)的幾何意義凸顯出來(lái),另外要抓住橢圓中a2-b2=c2這一核心關(guān)系式.

跟蹤訓(xùn)練1 求橢圓m2x2+4m2y2=1(m>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.

解:由已知得=1(m>0),因?yàn)?

所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,并且半長(zhǎng)軸長(zhǎng)a=,

半短軸長(zhǎng)b=,半焦距c=,

所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=,短軸長(zhǎng)2b=,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為,

離心率e=.

例2 橢圓=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1,F2,以F1F2為邊作正三角形,若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊,則橢圓的離心率為 .

解析:方法一:如圖,∵△DF1F2為正三角形,N為DF2的中點(diǎn),

∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,

∴|NF1|=c.

由橢圓的定義可知|NF1|+|NF2|=2a,

∴c+c=2a,∴a=.

∴e=-1.

方法二:注意到焦點(diǎn)三角形NF1F2中,∠NF1F2=30,∠NF2F1=60,∠F1NF2=90,則由離心率的焦點(diǎn)三角形公式,可得e=-1.

答案:-1

變式1 若例2改為如下:橢圓=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)F1,F2,以F1F2為底邊作等腰直角三角形,其三角形頂點(diǎn)恰好落在橢圓的頂點(diǎn)處,則橢圓的離心率為 .

解析:根據(jù)等腰直角三角形的特征可知a2+a2=4c2,即=e=.

答案:

例3 已知橢圓=1(a>b>0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上總存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2,則橢圓的離心率的取值范圍為 .

解析:由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c.因?yàn)閑=,0

答案:

求橢圓離心率的值或取值范圍的常用方法

(3)方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式,借助于a2=b2+c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程(或不等式),再將方程(或不等式)兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范圍).

(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b(或b,c)可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e=求解.

(2)幾何法:若借助數(shù)形結(jié)合,可挖掘涉及幾何圖形的性質(zhì),再借助a2=b2+c2,找到a與c的關(guān)系或求出a與c,代入e=即可得到.

跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知橢圓=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(1,),其離心率的取值范圍是,則橢圓短軸長(zhǎng)的最大值是( )

A.4 B.3 C. D.2

(2)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=上一點(diǎn),△F2PF1是底角為30的等腰三角形,則E的離心率為 .

解析:(1)由題意,可得=1,即a2=.因?yàn)閍2=b2+c2,所以=3-b2,離心率的取值范圍是,所以≤3-b2≤,解得b∈,所以橢圓短軸長(zhǎng)的最大值是.

(2)由題意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30,

∴∠PF2x=60.∴|PF2|=2=3a-2c.

∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c,∴e=

答案:(1)C (2)

(3)已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,若橢圓C的中心到直線AB的距離為|F1F2|,求橢圓C的離心率.

解:由題意知A(a,0),B(0,b),

從而直線AB的方程為=1,即bx+ay-ab=0,又|F1F2|=2c,∴c.∵b2=a2-c2,∴3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3a2=c2(舍去),∴e=.

通過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，運(yùn)用方程與函數(shù)的思想，獲得橢圓的幾何性質(zhì)，進(jìn)而推廣到一般。幫助學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典型例題，掌握根據(jù)橢圓的基本幾何性質(zhì)及其簡(jiǎn)單運(yùn)用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.已知點(diǎn)(3,2)在橢圓=1上,則( )

A.點(diǎn)(-3,-2)不在橢圓上

B.點(diǎn)(3,-2)不在橢圓上

C.點(diǎn)(-3,2)在橢圓上

D.無(wú)法判斷點(diǎn)(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在橢圓上

解析:由橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,以原點(diǎn)為對(duì)稱中心可知,點(diǎn)(-3,2)在橢圓上,故選C.

答案:C

2.設(shè)AB是橢圓=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸,若把線段AB分為100等份,過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂

線,分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1,P2,…,P99,F1為橢圓的左焦點(diǎn),則

|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( )

A.98a B.99a C.100a D.101a

解析:由橢圓的定義及其對(duì)稱性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故結(jié)果應(yīng)為502a+|F1P50|=101a.

答案:D

3.若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形,則該橢圓的離心率為( )

解析:不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,B為橢圓的上頂點(diǎn).依題意可知,△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60,∴cos 60=.即橢圓的離心率e=,故選A.

答案:A

4.已知橢圓=1左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上、下頂點(diǎn)分別為B1,B2,則四邊形B1F1B2F2的面積為 .

解析:根據(jù)題意,設(shè)四邊形B1F1B2F2的面積為S,

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,其中a=,b=,

則c==1,

則F1(-1,0),F2(1,0),B1(0,),B2(0,-),

即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=,

則S=4=4|OB1||OF1|=2.

答案:2

5.萬(wàn)眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開(kāi)幕,繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后,國(guó)家體育場(chǎng)(又名鳥(niǎo)巢)將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式.在手工課上,王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥(niǎo)巢的金屬模型,其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40 cm,短軸長(zhǎng)為20 cm,小橢圓的短軸長(zhǎng)為10 cm,則小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 cm.

解析:因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的扁平程度相同,所以橢圓的離心率相同,

,即.所以,所以,所以小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20 cm.

答案:20

6.已知橢圓x2+(m+3)y2=m(m>0)的離心率e=,求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo).

解:橢圓方程可化為=1(m>0),

∵m->0,∴m>.

∴a2=m,b2=,c=.由e=,得,∴m=1.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+=1.∴a=1,b=,c=.∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,短軸長(zhǎng)為1;兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為;四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。