用空間向量研究距離、夾角問題(1)教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.能用向量語言表示點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題.

B.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題.

1.數(shù)學(xué)抽象：向量語言表述空間距離

2.邏輯推理：運(yùn)用向量運(yùn)算求解空間距離的原理；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間距離問題.

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路,某人要在點(diǎn)A處，修建一個(gè)蔬菜存儲(chǔ)庫(kù)。如何在公路上選擇一個(gè)點(diǎn),修一條公路到達(dá)A點(diǎn),要想使這個(gè)路線長(zhǎng)度理論上最短,應(yīng)該如何設(shè)計(jì)？

問題：空間中包括哪些距離?求解空間距離常用的方法有哪些?

答案：點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條平行線及兩個(gè)平行平面的距離; 傳統(tǒng)方法和向量法.

二、探究新知

一、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線之間的距離

1.點(diǎn)到直線的距離

已知直線l的單位方向向量為μ,A是直線l上的定點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn).設(shè)=a,則向量在直線l上的投影向量=(aμ)μ.點(diǎn)P到直線l的距離為PQ=.

2.兩條平行直線之間的距離

求兩條平行直線l,m之間的距離,可在其中一條直線l上任取一點(diǎn)P,則兩條平行直線間的距離就等于點(diǎn)P到直線m的距離.

點(diǎn)睛：點(diǎn)到直線的距離,即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度,由于直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面,所以空間點(diǎn)到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個(gè)平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問題.

1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是C1C,D1A1的中點(diǎn),則點(diǎn)A到直線EF的距離為 .

答案:

解析:如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),

=(1,0,-2),∴||=,

∴直線EF的單位方向向量μ=(1,-2,1),

∴點(diǎn)A到直線EF的距離.

二、點(diǎn)到平面的距離、兩個(gè)平行平面之間的距離

點(diǎn)到平面的距離

已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點(diǎn),P是平面α外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P到平面α的距離為PQ=.

點(diǎn)睛：1.實(shí)質(zhì)上,n是直線l的方向向量,點(diǎn)P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長(zhǎng)度.

2.如果一條直線l與一個(gè)平面α平行,可在直線l上任取一點(diǎn)P,將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面α的距離求解.

3.兩個(gè)平行平面之間的距離

如果兩個(gè)平面α,β互相平行,在其中一個(gè)平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P,可將兩個(gè)平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面β的距離求解.

2.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為4,則點(diǎn)B1到平面AD1C的距離為 .

答案: 解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),

則=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,-2,0),

設(shè)平面AD1C的法向量為n=(x,y,z),

則

取z=1,則x=y=2,所以n=(2,2,1).

所以點(diǎn)B1到平面AD1C的距離d=.

三、典例解析

例1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90,求點(diǎn)B到直線A1C1的距離.

解:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),所以點(diǎn)B到直線A1C1的距離d==

用向量法求點(diǎn)到直線的距離時(shí)需注意以下幾點(diǎn):

(1)不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段;

(2)在直線上可以任意選點(diǎn),但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn);

(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計(jì)算正確.

延伸探究1 例1中的條件不變,若M,N分別是A1B1,AC的中點(diǎn),試求點(diǎn)C1到直線MN的距離.

解:如例1解中建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).

則M(2,0,1),N,C1(0,3,1),

所以直線MN的方向向量為，=(-2,3,0),

所以點(diǎn)C1到MN的距離d=.

延伸探究2 將條件中直三棱柱改為所有棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱,求點(diǎn)B到A1C1的距離.

解:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,過B垂直于BA的直線,BB1為x軸,y軸,z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則B(0,0,0),A1(2,0,2),C1(1,,2),

所以A1C1的方向向量=(-1,,0),=(1,,2),

所以點(diǎn)B到直線A1C1的距離.

例2 在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2

M,N分別為AB,SB的中點(diǎn),如圖所示.求點(diǎn)B到平面CMN的距離.

思路分析借助平面SAC⊥平面ABC的性質(zhì),建立空間直角坐標(biāo)系,先求平面CMN的法向量,再求距離.

解:取AC的中點(diǎn)O,連接OS,OB.

∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,

∴SO⊥平面ABC.

又BO?平面ABC,∴SO⊥BO.

如圖所示,分別以O(shè)A,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,).

∴=(3,,0),=(-1,0,),=(-1,,0).

設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量,

則取z=1,

則x=,y=-,∴n=(,-,1).

∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d=.

求點(diǎn)到平面的距離的主要方法

(1)作點(diǎn)到平面的垂線,點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.

(2)在三棱錐中用等體積法求解.

(3)向量法:d=(n為平面的法向量,A為平面上一點(diǎn),MA為過點(diǎn)A的斜線段)

跟蹤訓(xùn)練1 在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點(diǎn).

(1)求證:B1C∥平面A1BD;

(2)求直線B1C到平面A1BD的距離.

(1)證明:連接AB1交A1B于點(diǎn)E,連接DE.

?B1C∥平面A1BD.

(2)解:因?yàn)锽1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距離就等于點(diǎn)B1到平面A1BD的距離.

如圖建立坐標(biāo)系,則B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),

=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).

設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),所以所以n=(3,0,1).

所求距離為d=.

金題典例 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90,BC=2,CC1=4,點(diǎn)E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的中點(diǎn),EF與B1D相交于點(diǎn)H.

(1)求證:B1D⊥平面ABD;

(2)求證:平面EGF∥平面ABD;

(3)求平面EGF與平面ABD的距離.

思路分析：根據(jù)兩個(gè)平行平面間距離的定義,可將平面與平面間的距離轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離,即點(diǎn)面距.

(1)證明:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=a,則A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),

D(0,2,2),G.

所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2).

所以=0+0+0=0,=0+4-4=0.

所以,

所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.

又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.

通過生活中的現(xiàn)實(shí)情況，幫助學(xué)生回顧空間距離的概念，并提出運(yùn)用向量解空間距離的問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧空間中線線、線面、面面的平行問題的解法方法，進(jìn)一步體會(huì)空間幾何問題代數(shù)化的基本思想

由基本問題出發(fā)，讓學(xué)生掌握運(yùn)用空間向量解決空間距離問題的基本原理，實(shí)現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何問題的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1),且兩平面的一個(gè)法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是( )

答案:B

解析:∵兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1),

=(2,1,1),且兩平面的一個(gè)法向量n=(-1,0,1),

∴兩平面間的距離d=.故選B.

2.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點(diǎn)P到平面ABC的距離是( )

答案:D

解析:分別以PA,PB,PC所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個(gè)

法向量為n=(1,1,1),則d=.

3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,O是平面A1B1C1D1的中心,則O到平面ABC1D1的距離是( )

答案:B

解析:建立坐標(biāo)系如圖,則A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O.

∴=(0,1,0),=(-1,0,1).

設(shè)n=(1,y,z)是平面ABC1D1的一個(gè)法向量,

則解得y=0,z=1,∴n=(1,0,1).

又,

∴點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為.

4.Rt△ABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,則點(diǎn)P到斜邊AB的距離是 .

答案:3

解析:以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(4,0,0),B(0,3,0),P,

所以=(-4,3,0),,

所以點(diǎn)P到AB的距離d==3.

5.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是線段BB1,B1C1的中點(diǎn),則直線MN到平面ACD1的距離為 .

答案:

解析:如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則D(0,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M,A(1,0,0),

∴=(-1,1,0),=(-1,0,1).

設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),

則

令x=1,則y=z=1,∴n=(1,1,1).

∴點(diǎn)M到平面ACD1的距離d=.

故直線MN到平面ACD1的距離為.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。