離散型隨機變量及其分布列(2)教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.理解取有限值的離散型隨機變量的分布列及兩點分布的概念及表示．

B．掌握離散型隨機變量的分布列的性質．

C．會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列(含兩點分布)．

1.數(shù)學抽象：離散型隨機變量的分布列的概念

2.邏輯推理：離散型隨機變量的分布列的性質

3.數(shù)學運算：求離散型隨機變量的分布列．

4.數(shù)學建模：兩點分布的概念及表示

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、溫故知新

1.離散型隨機變量的定義

隨機變量的特點: 試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值，在試驗之前不可能確定取何值；可以用數(shù)字表示

2、隨機變量的分類

①離散型隨機變量:X的取值可一、一列出；

②連續(xù)型隨機變量:X可以取某個區(qū)間內的一切值

隨機變量將隨機事件的結果數(shù)量化．

3、古典概型:

①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；

②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

二、探究新知

探究1.拋擲一枚骰子,所得的點數(shù)X有哪些值？取每個值的概率是多少？

因為X取值范圍是

而且

因此X分布列如下表所示

該表不僅列出了隨機變量X的所有取值而且列出了X的每一個取值的概率．

1．離散型隨機變量的分布列

一般地，當離散型隨機變量X的取值為x₁，x₂，…，x_n時，我們稱X取每一個值x_i的概率P(X＝x_i)＝p_i, i∈{1,2，…，n}，為X的概率分布列．

離散型隨機變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個表格稱為X的概率分布或分布列．

分布列的表示：函數(shù)可以用解析式、表格、圖象表示。離散型隨機變量的分布列也可以用解析式、表格、圖象表示。

解析式法：P（X=x_i）=p_i,i=1,2,3…,n

表格法：

2.離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質：

注意：①.列出隨機變量的所有可能取值；

②.求出隨機變量的每一個值發(fā)生的概率.

1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“”)

(1)在離散型隨機變量分布列中，每一個可能值對應的概率可以為任意的實數(shù)． ( )

(2)隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個． ( )

(3)隨機變量是隨機試驗結果和實數(shù)之間的一個對應關系，這種對應是人為的，但又是客觀存在的． ( )

[答案] (1) (2)√ (3)√

三、典例解析

例1.一批產品中次品率為5%,隨機抽取1件,

定義X

解：根據(jù)

兩點分布列

對于只有兩個可能結果的隨機試驗,用??表示“成功”,
表示“失敗”,定義

1.分布列是兩點分布嗎？

解析： 不是．因為X的取值不是0和1.

跟蹤訓練1.設某項試驗的成功率是失敗率的2倍,用隨機變量X描述一次試驗的成功次數(shù),則P(X=0)等于( )

例2.某學校高二年級有200名學生,他們的體育綜合測試成績分5個等級,每個等級對應的分數(shù)和人數(shù)如下表所示.

從這200名學生中任意選取1人,求所選同學分數(shù)??的分布列以及??(??≥4).

解：由題意知，??是一個離散型隨機變量，其可能取值為1,2,3,4,5,且{??=1}=“不及格”,

{??=2}=“及格”,

根據(jù)古典概型的知識，

可得??的分布列

例3. 一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺 ,B品牌7臺.如果從中隨機挑選2臺，求這2臺電腦中A品牌臺數(shù)的分布列.

解：設挑選的2臺電腦中??品牌的臺數(shù)為??,則??的可能取值為0,1,2.根據(jù)古典概型的知識，可得??的分布列,

求離散型隨機變量分布列時應注意的問題

(1)確定離散型隨機變量ξ的分布列的關鍵是要清楚ξ取每一個值對應的隨機事件,進一步利用排列、組合知識求出ξ取每一個值的概率.

(2)在求離散型隨機變量ξ的分布列時,要充分利用分布列的性質,這樣不但可以減少運算量,還可以驗證分布列是否正確.

跟蹤訓練2. 一袋中裝有5只球,編號為1,2,3,4,5,在袋中同時取3只,以ξ表示取出的3只球中的最大號碼,寫出隨機變量ξ的分布列.

解:隨機變量ξ的可能取值為3,4,5.

當ξ=3時,即取出的三只球中最大號碼為3,則其他兩只球的編號只能是1,2,故有P(ξ=3)==;當ξ=4時,即取出的三只球中最大號碼為4,則其他兩只球只能在編號為1,2,3的3只球中取2只,故有P(ξ=4)==;

當ξ=5時,即取出的三只球中最大號碼為5,則其他兩只球只能在編號為1,2,3,4的4只球中取2只,故有P(ξ=5)==.

因此ξ的分布列為

通過知識回顧，提出問題.

通過具體的問題情境，引發(fā)學生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入離散型隨機變量分布列的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

讓學生體會離散型隨機變量與函數(shù)的關系。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過概念辨析，加深對概念的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，提升對概念精細化的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1．某一隨機變量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，則m－的值為( )

A.－0.2 B．0.2 C．0.1 D．－0.1

B [由離散型隨機變量分布列的性質可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.]

2．設離散型隨機變量X的分布列為

若隨機變量Y＝X－2，則P(Y＝2)等于( )

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

A [由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.]

3．一批產品的次品率為5%，從中任意抽取一個進行檢驗，用隨機變量X來描述次品出現(xiàn)的情況，即X＝0表示抽取的一個產品為合格品，X＝1表示抽取的一個產品為次品，則X的分布列為

則a＝________，b＝________.

;

[X＝0表示抽取的一個產品為合格品，概率為95%，即a＝；X＝1表示抽取的一個產品為次品，概率為5%，即b＝.]

4．設隨機變量ξ的可能取值為5,6,7，…，16這12個值，且取每個值的概率均相同，則P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________.

; [P(ξ>8)＝8＝，P(6<ξ≤14)＝8＝.]

5．將一枚骰子擲兩次，求兩次擲出的最大點數(shù)ξ的分布列．

[解] 由題意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，

則P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝＝；

P(ξ＝3)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；

P(ξ＝5)＝＝＝；P(ξ＝6)＝＝.

所以拋擲兩次擲出的最大點數(shù)構成的分布列為

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。