離散型隨機(jī)變量及其分布列(1)教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.理解隨機(jī)變量的意義,了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別;

B.掌握離散型隨機(jī)變量的概念,能夠?qū)懗鲭S機(jī)變量的取值以及隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.

1.數(shù)學(xué)抽象：離散型隨機(jī)變量的概念

2.邏輯推理：離散型隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：會(huì)寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量

4.數(shù)學(xué)建模：離散型隨機(jī)變量的表示

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

求隨機(jī)事件的概率時(shí),我們往往需要為隨機(jī)試驗(yàn)建立樣本空間,并會(huì)涉及樣本點(diǎn)和隨機(jī)事件的表示問(wèn)題,類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系,如果我們?cè)陔S機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與實(shí)數(shù)集之間建立某種對(duì)應(yīng),將不僅可以為一些隨機(jī)事件的表示帶來(lái)方便,而且能更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)試驗(yàn).

1. 隨機(jī)試驗(yàn)：一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：

①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；

②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個(gè)；

③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之

前卻不能肯定這次試驗(yàn)

會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果; 這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為了方便起

見(jiàn)，也簡(jiǎn)稱試驗(yàn).

2.函數(shù)：一般地,設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果使對(duì)于集合 A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù) y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作:

隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與實(shí)數(shù)集之間能否建立某種對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？

二、新知探究

探究1.有些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與數(shù)值有關(guān)系,我們可以直接與實(shí)數(shù)建立關(guān)系.

（1）擲一枚骰子用實(shí)數(shù)??(??=1,2,3,4,5,6)表示“擲出的點(diǎn)數(shù)為??”，又如,

擲兩枚骰子樣本空間為Ω={ (??,??) |??,??=1,2,?6},

用??+??表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和”樣本點(diǎn)(??,??)就與實(shí)數(shù)??+??對(duì)應(yīng).

（2）.某射擊運(yùn)動(dòng)員在射擊訓(xùn)練中，其中某次射擊可能出現(xiàn)命中的環(huán)數(shù)情況有哪些？

實(shí)數(shù)??(??=0,1,2,3,4,5,6,,10)表示“擊中環(huán)數(shù)??”

（0環(huán)、1環(huán)、2環(huán)、、10環(huán)）共11種結(jié)果

（1）隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品,有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能結(jié)果它們與數(shù)值無(wú)關(guān).如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即：

，這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)就建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系

探究2.有些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與數(shù)值沒(méi)有直接關(guān)系,可以根據(jù)問(wèn)題的需要為每個(gè)樣本點(diǎn)指定一個(gè)數(shù)值.

類似地,（2）.擲一枚硬幣,可將試驗(yàn)結(jié)果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示

（3）.隨機(jī)調(diào)查學(xué)生的體育綜合測(cè)試成績(jī),可將等級(jí)成績(jī)優(yōu)、良、中等、及格、不及格分別賦值5.4.3.2.1;等等,對(duì)于任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),總可以把它的每個(gè)樣本點(diǎn)與一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)。

即通過(guò)引入一個(gè)取值依賴于樣本點(diǎn)的變量X,來(lái)刻畫(huà)樣本點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,實(shí)現(xiàn)樣本點(diǎn)的數(shù)量化.因?yàn)樵陔S機(jī)試驗(yàn)中樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有隨機(jī)性,所以變量X的取值也具有隨機(jī)性。

探究3.考察下列隨機(jī)試驗(yàn)及其引入的變量：

試驗(yàn)1:從100個(gè)電子元件(至少含3個(gè)以上次品)中隨機(jī)抽取三個(gè)進(jìn)行試驗(yàn)，變量X 表示三個(gè)元件中次品數(shù);

試驗(yàn)2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y 表示需要的拋擲次數(shù).

這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間各是什么?

各個(gè)樣本點(diǎn)與變量的值是如何對(duì)應(yīng)的?變量X,Y 有哪些共同的特征?

試驗(yàn)1:從100個(gè)電子元件(至少含3個(gè)以上次品)中隨機(jī)抽取三個(gè)進(jìn)行試驗(yàn)，變量X 表示三個(gè)元件中次品數(shù);用0表示“元件為合格品”,1表示“元件為次品”,

用0和1構(gòu)成的長(zhǎng)度為3的字符串表示樣本點(diǎn),則樣本空Ω₁={000,001,010,100,011,101,110,111}

試驗(yàn)2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y 表示需要的拋擲次數(shù).

問(wèn)題探究

問(wèn)題：變量X,Y 有哪些共同的特征?

(1).取值依賴于樣本點(diǎn);(2).所有可能取值是明確的.

1.隨機(jī)變量的定義

2.離散型隨機(jī)變量的定義：

隨機(jī)變量的特點(diǎn)

（1）可以用數(shù)字表示

（2）試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值

（3）在試驗(yàn)之前不可能確定取何值

隨機(jī)變量將隨機(jī)事件的結(jié)果數(shù)量化．

1.下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量？并說(shuō)明理由．

(1)上海國(guó)際機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中2020年10月1日的旅客數(shù)量；

(2)2021年某天濟(jì)南至北京的D36次列車到北京站的時(shí)間；

(3)2021年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；

(4)體積為1000 cm³的球的半徑長(zhǎng)．

【解】 (1)候機(jī)室中的旅客數(shù)量可能是：0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．

(2)D36次濟(jì)南至北京的列車，到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間每次都是隨機(jī)的，可能提前，可能準(zhǔn)時(shí)，亦可能晚點(diǎn)，故是隨機(jī)變量．

(3)在2019年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)是隨機(jī)變化的，也可能多，也可能少，因此是隨機(jī)變量．

(4)體積為1000 cm³的球的半徑長(zhǎng)為定值，故不是隨機(jī)變量．

隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果為自變量的一個(gè)函數(shù)，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)，但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一個(gè)值．

3.隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系

(1)相同點(diǎn)

(2)不相同點(diǎn)：

所謂隨機(jī)變量，即是隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是人為建立起來(lái)的，但又是客觀存在的這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的，只不過(guò)在函數(shù)概念中，函數(shù)f(x)的自變量x是實(shí)數(shù)，而在隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量X的自變量是試驗(yàn)結(jié)果,不一定是實(shí)數(shù)

4.連續(xù)性隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量是指可以取某一區(qū)間的一切值的隨機(jī)變量,又稱作連續(xù)型隨機(jī)變量.

如：

問(wèn)題：你能總結(jié)隨機(jī)變量X的特點(diǎn)嗎？

(1)可以用數(shù)量來(lái)表示;

(2)試驗(yàn)前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值;

(3)在試驗(yàn)前不能確定取何值.

2.下列變量中是離散型隨機(jī)變量的是？

(1)下期《詩(shī)詞大會(huì)》節(jié)目中過(guò)關(guān)的人數(shù)；

(2)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差；

(3)在鄭州至武漢的電氣化鐵道線上，每隔50 m有一電線鐵塔，從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進(jìn)行編號(hào)，其中某一電線鐵塔的編號(hào)；

(4)江西九江市長(zhǎng)江水位監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測(cè)水位．

答案：(1)(3)

【解析】 (1)是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)檫^(guò)關(guān)人數(shù)可以一一列出．

(2)不是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)閷?shí)際測(cè)量值與規(guī)定值之間的差值無(wú)法一一列出．

(3)是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)殡娋€鐵塔為有限個(gè)，其編號(hào)從1開(kāi)始可一一列出．

(4)不是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)樗辉?/span>(0,29]這一范圍內(nèi)變化，對(duì)水位值我們不能按一定次序一一列出．

變式探究：將本例的(4)改為：監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位X是否超過(guò)警戒水位(警戒水位是29 m)，X是離散型隨機(jī)變量嗎?

解：設(shè)X＝，是離散型隨機(jī)變量．

判斷一個(gè)隨機(jī)變量X是否為離散型隨機(jī)變量的具體方法

（1）明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；

（2）將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化；

（3）確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是.

三、典例解析

例1.寫(xiě)出下列各隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：

（1）從10張已編號(hào)的卡片（從1號(hào)到10號(hào)）中任取1張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)X 。

（2）一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球數(shù)X．

（3）拋擲兩個(gè)骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和X．

（4）接連不斷地射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X ．

（5）某一自動(dòng)裝置無(wú)故障運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間X．

（6）某林場(chǎng)樹(shù)木最高達(dá)30米，此林場(chǎng)樹(shù)木的高度X ．

解析：（1）X ＝1、2、3、、10；

（2）X＝0、1、2、3；

（3）X＝2、3、4、、12；

（4） X＝1、2、3、、n、；

（5） X取內(nèi)的一切值； （6）X取內(nèi)的一切值.

例2.從標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．

解析：設(shè)所取卡片上的數(shù)字之和為X，則X＝3,4,5，…，11.

X＝3，表示取出標(biāo)有1,2的兩張卡片；

X＝4，表示取出標(biāo)有1,3的兩張卡片；

X＝5，表示取出標(biāo)有2,3或1,4的兩張卡片；

X＝6，表示取出標(biāo)有2,4或1,5的兩張卡片；

X＝7，表示取出標(biāo)有3,4或2,5或1,6的兩張卡片；

X＝8，表示取出標(biāo)有2,6或3,5的兩張卡片；

X＝9，表示取出標(biāo)有3,6或4,5的兩張卡片；

X＝10，表示取出標(biāo)有4,6的兩張卡片；

X＝11，表示取出標(biāo)有5,6的兩張卡片．

變式探究：本題中條件不變，所取卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X，請(qǐng)問(wèn)X有哪些取值？其中X＝4表示什么含義？

解析：X的所有可能取值有：1,2,3,4,5共5個(gè)．

“X＝4”表示取到卡片1和卡片5或卡片2和卡片6兩種結(jié)果．

跟蹤訓(xùn)練：⑴擲兩枚均勻硬幣一次，則正面?zhèn)€數(shù)與反面?zhèn)€數(shù)之差的可能的值有 ．

⑵袋中有大小相同的5個(gè)小球，分別標(biāo)有1、2、3、4、5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回的條件下取出兩個(gè)小球，設(shè)兩個(gè)小球號(hào)碼之和為X，則X所有可能值的個(gè)數(shù)是 個(gè)；

“X＝4”表示 ．

解析：（1）－2、0、2；（2）9；“第一次抽1號(hào)、第二次抽3號(hào)，或者第一次抽3號(hào)、第二次抽1號(hào)，或者第一次、第二次都抽2號(hào)．

解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解清楚隨機(jī)變量所有可能的取值及其取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的意義，不要漏掉或多取值，同時(shí)要找好對(duì)應(yīng)關(guān)系．

例3.某人去商場(chǎng)為所在公司買玻璃水杯若干只，公司要求至少要買50只，但不得超過(guò)80只．商場(chǎng)有優(yōu)惠規(guī)定：一次購(gòu)買這種玻璃水杯小于或等于50只不優(yōu)惠，大于50只的，超出部分按原價(jià)的7折優(yōu)惠，已知原來(lái)的水杯價(jià)格是每只6元．這個(gè)人一次購(gòu)買水杯的只數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，那么他所付的款額Y是否也是一個(gè)隨機(jī)變量呢？這兩個(gè)隨機(jī)變量有什么關(guān)系？

解析：公司至少要買50只，則

Y=506+(X?50)60.7=300+4.2???210=4.2??+90.

若X是隨機(jī)變量,則Y=aX+b(其中a、b是常數(shù))也是隨機(jī)變量.

開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，提出問(wèn)題.

通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見(jiàn)解。從而建立離散型隨機(jī)變量的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從特殊到一般，獲得離散型隨機(jī)變量概念的過(guò)程。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過(guò)與函數(shù)概念的比較，讓學(xué)生深化對(duì)離散型隨機(jī)變量的概念。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過(guò)概念辨析，讓學(xué)生與連續(xù)性隨機(jī)變量比較，深化對(duì)隨機(jī)變量的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典例解析，深化概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．袋中有2個(gè)黑球、6個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是( )

A．取到的球的個(gè)數(shù)

B．取到紅球的個(gè)數(shù)

C．至少取到1個(gè)紅球

D．至少取到1個(gè)紅球的概率

B [A的取值不具有隨機(jī)性，C是一個(gè)事件而非隨機(jī)變量，D中概率值是一個(gè)定值而非隨機(jī)變量，只有B滿足要求．]

2．拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為ξ，那么ξ＝4表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是( )

A．一枚是3點(diǎn)，一枚是1點(diǎn)

B．兩枚都是2點(diǎn)

C．兩枚都是4點(diǎn)

D．一枚是3點(diǎn)，一枚是1點(diǎn)或兩枚都是2點(diǎn)

D [ξ＝4可能出現(xiàn)的結(jié)果是一枚是3點(diǎn)，一枚是1點(diǎn)或兩枚都是2點(diǎn)．]

3．在一批產(chǎn)品中共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取得合格品之前取出的次品數(shù)ξ的所有可能取值是________．

0,1,2,3 [可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．]

4.寫(xiě)出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

(1)一個(gè)袋中裝有8個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取5個(gè)球，其中所含白球的個(gè)數(shù)為X.

(2)一個(gè)袋中有5個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任取3個(gè)球，取出的球的最大號(hào)碼記為X.

(3). 在本例(1)條件下，規(guī)定取出一個(gè)紅球贏2元，而每取出一個(gè)白球輸1元，以ξ表示贏得的錢數(shù)，結(jié)果如何？

[解] (1)X可取0,1,2,3.X＝0表示取5個(gè)球全是紅球；

X＝1表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅球；

X＝2表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球；

X＝3表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球．

(2)X可取3,4,5.X＝3表示取出的球編號(hào)為1,2,3；

X＝4表示取出的球編號(hào)為1,2,4；1,3,4或2,3,4.

X＝5表示取出的球編號(hào)為1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.

(3) ξ＝10表示取5個(gè)球全是紅球；

ξ＝7表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅球；

ξ＝4表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球；

ξ＝1表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球．

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。