函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像教學(xué)設(shè)計（1）

教學(xué)過程

設(shè)計意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目標

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

提出問題

上面我們利用三角函數(shù)的知識建立了一個形如y=Asin（ωx+φ ） 其中（ A＞０ ， ω ＞０ ） 的函數(shù) ． 顯然 ， 這個函數(shù)由參數(shù) A ， ω， φ所確定 ． 因此 ， 只要了解這些參數(shù)的意義 ， 知道它們的變化對函數(shù)圖象的影響 ， 就能把握這個函數(shù)的性質(zhì) ．從解析式看 ， 函數(shù) 就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，在 A ＝１ ， ω ＝１ ， φ ＝０ 時的特殊情形 ．

(1)能否借助我們熟悉的函數(shù) 的圖象與性質(zhì)研究參數(shù) A ， ω ， φ對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的影響 ？

(2)函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)含有三個參數(shù) ， 你認為應(yīng)按怎樣的思路進行研究.

1. 探索 φ對y＝sin(x＋φ)圖象的影響

為了更加直觀地觀察參數(shù)φ對函數(shù)圖象的影響 ， 下面借助信息技術(shù)做一個數(shù)學(xué)實驗 ．如圖 5.6.4，取 A ＝１ ， ω ＝１ ， 動點 M在單位圓上以單位角速度按逆時針方向運動 ．圖 5.6.4如果動點 M 以 為起點 （ 此時 φ＝０ ）， 經(jīng)過xｓ 后運動到點P ， 那么點 P 的縱坐標 y就等于 sinx ． 以 （ x ， y ） 為坐標描點 ， 可得正弦函數(shù) y =sinx 的圖象 ．

在單位圓上拖動起點 ， 使點繞點旋轉(zhuǎn) 到 ， 你發(fā)現(xiàn)圖象有什么變化 ？如果使點 繞點 旋轉(zhuǎn)- , , - ，或者旋轉(zhuǎn)一個任意角 φ呢

當起點位于 時 ， φ= ， 可得函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象 ．進一步 ， 在單位圓上 ， 設(shè)兩個動點分別以 ， 為起點同時開始運動 ． 如果以 為起點的動點到達圓周上點 P的時間為xｓ ， 那么以 為起點的動點相繼到達點P 的時間是 (x- ｓ． 這個規(guī)律反映在圖象上就是 ： 如果 F （ x ， y ） 是函數(shù)y＝sinx 圖象上的一點 ， 那么 G(x- , y )就是函數(shù) y＝sin(x＋)圖象上的點 ， 如圖 5.6-4所示 ． 這說明 ， 把正弦曲線y＝sinx 上的所有點向左平移 個單位長度 ， 就得到y(tǒng)＝sin(x＋)的圖象 ．

分別說一說旋轉(zhuǎn)- , , - 時的情況 ．

一般地 ， 當動點 M 的起點位置 Q所對應(yīng)的角為φ時 ， 對應(yīng)的函數(shù)是 y＝sin(x＋φ) (φ0)， 把正弦曲線上的所有點向左（ 當 φ ＞０ 時 ） 或向右 （ 當 φ ＜０ 時 ） 平移 個單位長度 ， 就得到函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象 ．

2. 探索 ω （ ω ＞０ ） 對y=sin（ωx+φ ） 圖象的影響下面 ， 仍然通過數(shù)學(xué)實驗來探索 ．如圖 5.6.5， 取圓的半徑 A=1． 為了研究方便 ， 不妨令φ＝． 當 ω ＝１ 時得到y(tǒng)＝sin(x＋)的圖象 ．

取 ω ＝２ ， 圖象有什么變化 ？ 取 ω ＝ 呢 ？取 ω ＝３ ，ω ＝ ， 圖象又有什么變化 ？當 ω 取任意正數(shù)呢?

取ω ＝２ 時 ， 得到函數(shù) y＝sin(2x＋)的圖象 ．進一步 ， 在單位圓上 ， 設(shè)以 為起點的動點 ， 當 ω ＝１ 時到達點 P 的時間為 ｓ ，當 ω ＝２ 時到達點 P的時間為ｓ．因為 ω ＝２ 時動點的轉(zhuǎn)速是 ω ＝１ 時的 ２ 倍 ，所以 ＝． 這樣 ， 設(shè) G （ x ， y ） 是函數(shù)y＝sin(x＋)圖象上的一點 ， 那么K （， y ） 就是函數(shù)y＝sin(2x＋)圖象上的相應(yīng)點 ， 如圖 5.6-5示 ． 這說明 ， 把y＝sin(x＋)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的 倍（ 縱坐標不變 ）， 就得到 y＝sin(2x＋)的圖象 ．y＝sin(2x＋)的周期為， 是y＝sin(x＋)的周期的 倍 ．

同理 ， 當 ω ＝時 ， 動點的轉(zhuǎn)速是 ω ＝１ 時的 倍 ， 以為起點 ， 到達點 P的時間是 ω ＝１ 時的 ２ 倍 ． 這樣 ， 把y＝sin(x＋)圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的 ２ 倍 （ 縱坐標不變 ）， 就得到 y＝sin(x＋)的圖象 ． y＝sin(x＋)的周期為４π， 是 y＝sin(x＋)的周期的 ２ 倍 ．

一般地 ， 函數(shù) 的周期是， 把 y＝sin(x＋ φ)圖象上所有點的橫坐標縮短 （ 當 ω ＞１ 時 ） 或伸長 （ 當 ０＜ ω ＜１ 時 ） 到原來的 倍 （縱坐標不變 ）， 就得到 的圖象 ．

3. 探索 A（ A ＞０ ） 對 y=sin（ωx+φ ）圖象的影響

下面通過數(shù)學(xué)實驗探索A 對函數(shù)圖象的影響 ． 為了研究方便 ， 不妨令ω =2, φ ．當 A ＝１ 時 ， 如圖 5.6.6， 可得y=sin（2x+）的圖象 ．

改變 A 的取值 ， 使 A 取 ２ ，， ３, 等 ， 你發(fā)現(xiàn)圖象有什么變化 ？當 A 取任意正數(shù)呢 ?

當 A ＝２ 時 ， 得到函數(shù) y=2sin（2x+）的圖象 ．

進一步 ， 設(shè)射線 與以為圓心 、 ２ 為半徑的圓交于 ． 如果單位圓上以 為起點的動點 ， 以 ω ＝２ 的轉(zhuǎn)速經(jīng)過 xｓ 到達圓周上點 P ， 那么點 P 的縱坐標是 2sin（2x+）； 相應(yīng)地 ， 點 在以 為圓心 、 ２ 為半徑的圓上運動到點 T ， 點 T 的縱坐標是 2sin（2x+）．這樣 ， 設(shè) K（ x ， y ） 是函數(shù)y=sin（2x+） 圖象上的一點 ， 那么點 N （ x ，2 y ）就是函數(shù)圖象y=2sin（2x+）上的相應(yīng)點 ， 如圖 5.6.6所示 ． 這說明 ， 把 y=sin（2x+）圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍 （ 橫坐標不變 ）， 就得到 y=2sin（2x+）的圖象 ．同理 ， 把y=sin（2x+） 圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的倍（ 橫坐標不變 ）， 就得到y(tǒng)=sin（2x+）的圖象 ．

一般地 ， 函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 ， 可以看作是把y＝Asin(ωx＋φ)圖象上所有點的縱坐標伸長 （ 當 A ＞１ 時 ）或縮短 （ 當 ０＜ A＜１ 時 ） 到原來的 A 倍 （ 橫坐標不變 ） 而得到 ． 從而 ， 函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)的值域是 ［ － A ， A ］，最大值是 A ， 最小值是 － A

你能總結(jié)一下從正弦函數(shù)圖象出發(fā) ， 通過圖象變換得到 y＝Asin(ωx＋φ)（ A ＞０ ，ω ＞０ ） 圖象的過程與方法嗎 ?

一般地 ， 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)（ A ＞０ ， ω＞０ ） 的圖象 ， 可以用下面的方法得到 ： 先畫出函數(shù) y＝sinx的圖象 ； 再把正弦曲線向左 （ 或右 ） 平移個單位長度 ， 得到函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象 ； 然后把曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍 （縱坐標不變 ）， 得到函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象 ； 最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?A 倍 （ 橫坐標不變 ），這時的曲線就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 ．

規(guī)律總結(jié):

先平移后伸縮的步驟程序如下:

y=sinx的圖象得y=sin(x+φ)的圖象

得y=sin(ωx+φ)的圖象

得y=Asin(ωx+φ)的圖象.

先伸縮后平移(提醒學(xué)生盡量先平移),但要注意第三步的平移.

y=sinx的圖象得y=Asinx的圖象

得y=Asin(ωx)的圖象[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK

得y=Asin(ωx+φ)的圖象.

典例解析

例 １　 畫出函數(shù) y=sin（3x- ）的簡圖 ．

解 ：先畫出函數(shù)y=sinx的圖象 ； 再把正弦曲線向右平移 個單位長度 ，得到函數(shù)的圖象 ； 然后使曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍 ， 得到函數(shù) 的圖象 ； 最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼? ２ 倍 ， 這時的曲線就是函數(shù)y=sin（3x- ）的圖象 ， 如圖 5.6.7所示 ．

下面用 “ 五點法 ” 畫函數(shù)y=sin（3x- ）在一個周期（ ）內(nèi)的圖象 ．令 X ＝3x- ， 則 x＝ （ X+ ）列表 （ 表 5.6.1），描點畫圖 （ 圖 5.6.8）

例 2 摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施 ， 游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn) ， 可以從高處俯瞰四周景色 ． 如圖 5.6.9， 某摩天輪最高點距離地面高度為 120ｍ ， 轉(zhuǎn)盤直徑為110ｍ ， 設(shè)置有 48個座艙 ， 開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn) ， 游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙 ， 轉(zhuǎn)一周大約需要30in ．

（ １ ） 游客甲坐上摩天輪的座艙 ， 開始轉(zhuǎn)動 t min 后距離地面的高度為 H ｍ ， 求在轉(zhuǎn)動一周的過程中 ， H關(guān)于t 的函數(shù)解析式 ；

（ ２ ） 求游客甲在開始轉(zhuǎn)動 ５ min后距離地面的高度 ；

（ ３ ） 若甲 、 乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里 ， 在運行一周的過程中 ， 求兩人距離地面的高度差h （ 單位 ： ｍ ） 關(guān)于 t的函數(shù)解析式 ， 并求高度差的最大值 （ 精確到 ０．１ ）

分析 ： 摩天輪上的座艙運動可以近似地看作是質(zhì)點在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn) ． 在旋轉(zhuǎn)過程中 ， 游客距離地面的高度 犎 呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化 ， 因此可以考慮用三角函數(shù)來刻畫 ．

解 ： 如圖 5.6.10， 設(shè)座艙距離地面最近的位置為點 P ，

以軸心 O為原點 ， 與地面平行的直線為 軸建立直角坐標系 ．

（ １ ） 設(shè) 時 ， 游客甲位于點 P（0 ，-55 ），以 OP為終邊的角為 - ； 根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要 ， 可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為 π rad／min ， 由題意可得H=55sin（t- ）+65 ,

（ ２ ） 當 ＝５ 時 ， H=55sin（- ）+65 =37.5

所以 ， 游客甲在開始轉(zhuǎn)動 5 min后距離地面的高度約為 37.5ｍ．

（ ３ ） 如圖 5.6.10,甲 、 乙兩人的位置分別用點 A,B表示 ， 則 ∠ AOB＝＝ ．經(jīng)過 后甲距離地面的高度為 =55sin（t- ）+65 ，點 B相對于點 A 始終落后 rad， 此時乙距離地面的高度為=55sin（t- ）+65． 則甲 、 乙距離地面的高度差=55=55,利用，可得=110, ，當 =（或），

即 ≈7.8（ 或 22.8） 時 ， 的最大值為 110 ≈7.2．

所以 ， 甲 、 乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2ｍ．

通過開門見山，提出問題，利用圖像變換觀察參數(shù)對函數(shù)圖像的影響問題，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過對典型問題的分析解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)；

三、當堂達標

1．函數(shù)y＝3sin的振幅和周期分別為(　　)

A．3,4 B．3， C. ，4 D.，3

【解析】　由于函數(shù)y＝3sin，∴振幅是3，周期T＝＝4.

【答案】　A

2．將函數(shù)y＝sin的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移個單位，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為(　　)

A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sinx D．y＝sin

【解析】　函數(shù)y＝sin的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的

2倍，得y＝sin的圖象，再將此圖象向左平移個單位，

得y＝sin＝sin的圖象，選D.

【答案】　D

3．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是，初相是，則這個函數(shù)的表達式是(　　)

A．y＝3sin B．y＝3sin

C．y＝3sin D．y＝3sin

【解析】　由已知得A＝3，T＝，φ＝，ω＝＝7，所以y＝3sin.

【答案】　B

4．函數(shù)y＝2sin圖象的一條對稱軸是____．(填序號)　

①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.

【解析】　由正弦函數(shù)對稱軸可知．x＋＝kπ＋，k∈Z，x＝kπ＋，k∈Z，k＝0時，x＝.

【答案】　③

5．已知函數(shù)f(x)＝2sin，x∈R.

(1)寫出函數(shù)f(x)的對稱軸方程、對稱中心的坐標及單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.

【解】　(1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的對稱軸方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，

k∈Z解得對稱中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z解得單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z.

(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，

∴當2x－＝－，即x＝0時，f(x)取最小值為－1；

當2x－＝，即x＝時，f(x)取最大值為2.

通過練習鞏固本節(jié)所學(xué)知識，鞏固對三角函數(shù)圖像變換規(guī)律的理解，增強學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。