對(duì)數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)（1）

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

1、理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，會(huì)求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；

2、了解對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和歸納問題的思維能力以及數(shù)學(xué)交流能力；滲透類比等基本數(shù)學(xué)思想方法。

3、在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)過程中，使學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)事物的特殊性與一般性之間的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，感受數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、探索數(shù)學(xué)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

a.數(shù)學(xué)抽象：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；

b.邏輯推理：對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；

c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；

d.直觀想象：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像；

e.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)解決實(shí)際問題；

教學(xué)過程

設(shè)計(jì)意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)

（一）、問題探究

問題1 當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么，死亡１年后，生物體內(nèi)碳１４含量為（1-p)1；死亡２年后，生物體內(nèi)碳１４含量為（1-p)2 ；

死亡３年后，生物體內(nèi)碳１４含量為（1-p)3 ；

……

死亡５７３０年后，生物體內(nèi)碳１４含量為（1-p)5730 ．

根據(jù)已知條件，（1-p)5730＝,從而1-p=,所以p=1-．

設(shè)生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳１４含量為y，那么y=（1-p)x ，

即,（x∈[０，＋∞））．

這也是一個(gè)函數(shù)，指數(shù)x是自變量．死亡生物體內(nèi)碳１４含量每年都以1-減率衰減．像這樣，衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)衰減．因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減．

在上述問題中，我們用指數(shù)函數(shù)模型研究了呈指數(shù)增長(zhǎng)或衰減變化規(guī)律的問題．對(duì)這樣的問題，在引入對(duì)數(shù)后，我們還可以從另外的角度，對(duì)其蘊(yùn)含的規(guī)律作進(jìn)一步的研究．

在問題中，我們已經(jīng)研究了死亡生物體內(nèi)碳14的含量y隨死亡時(shí)間

x的變化而衰減的規(guī)律．反過來，已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長(zhǎng)時(shí)間呢？進(jìn)一步地，死亡時(shí)間x是碳14的含量y的函數(shù)嗎？

2、概念建構(gòu)

根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由（x≥０）得到如圖過y軸正半軸上任意一點(diǎn)（0，）（ ≤１）作x軸的平行線，與（x≥０）

的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)（，）．

這就說明，對(duì)于任意一個(gè)y∈（０，１］，

通過對(duì)應(yīng)關(guān)系，

在［０，＋∞）上，都有唯一確定的數(shù)x和它對(duì)應(yīng)，所以x也是y的函數(shù)．

也就是說，函數(shù)

刻畫了時(shí)間x隨碳14含量y的衰減而變化的規(guī)律．

同樣地，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由（ ＞０，且≠１）

可以得到（ ＞０，且≠１）,x也是y的函數(shù)．

通常，我們用x表示自變量，表y示函數(shù)．

為此，將（ ＞０，且≠１）中的字母x和y對(duì)調(diào)，

寫成yx（ ＞０，且≠１）．

對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)y＝lo____x(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．

（二）、典例解析

題型1 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用

例1 (1)下列給出的函數(shù)：①y＝log5x＋1；

②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；

④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；

⑥y＝logx.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的為( )

A．③④⑤ B．②④⑥

C．①③⑤⑥ D．③⑥

(2)若函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a＝________.

(3)已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(16,4)，則f ＝________.

(1)D (2)4 (3)－1

[(1)由對(duì)數(shù)函數(shù)定義知，③⑥是對(duì)數(shù)函數(shù)，故選D.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對(duì)數(shù)函數(shù)，

所以

解得a＝4.

(3)設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為f(x)＝logax(a>0且a≠1)，

由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，

∴f(x)＝log2x，

∴f ＝log2＝－1.]

[規(guī)律方法] 判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的方法

跟蹤訓(xùn)練1．若函數(shù)f(x)＝(a2＋a－5)logax是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a＝________.

答案：2

[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.]

題型2 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

例2 求下列函數(shù)的定義域．

(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；

(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8).

[解] (1)要使函數(shù)f(x)有意義，則logx＋1>0，即logx>－1，

解得0

(2)函數(shù)式若有意義，需滿足即

解得－1

(3)由題意得解得

故函數(shù)y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定義域?yàn)?

[規(guī)律方法] 求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)遵循的原則

（1）分母不能為；??（2）根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)；?

（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0?，底數(shù)大于0?且不為1??

提醒：定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題時(shí)，要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù)大于0；若自變量在底數(shù)上，應(yīng)保證底數(shù)大于0且不等于1.

跟蹤訓(xùn)練2．求下列函數(shù)的定義域：

(1)f(x)＝lg(x－2)＋；

(2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．

[解] (1)要使函數(shù)有意義，需滿足解得x>2且x≠3，

所以函數(shù)定義域?yàn)?2,3)∪(3，＋∞)．

(2)要使函數(shù)有意義，需滿足

解得－1

題型3 對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

例3 假設(shè)某地初始物價(jià)為１，每年以５％的增長(zhǎng)率遞增，經(jīng)過y年后的物價(jià)為x．

（１）該地的物價(jià)經(jīng)過幾年后會(huì)翻一番？

（２）填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價(jià)的變化規(guī)律．

解：（１）由題意可知，經(jīng)過y年后物價(jià)x為，

即（∈［０，＋∞））．

由對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得y=∈［１，＋∞）．

由計(jì)算工具可得，當(dāng)＝２時(shí)，≈１４．

所以，該地區(qū)的物價(jià)大約經(jīng)過１４年后會(huì)翻一番．

（２）根據(jù)函數(shù)y= ∈［１，＋∞）．利用計(jì)算工具，可得下表：

由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價(jià)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，

但大約每增加１倍所需要的時(shí)間在逐漸縮小．

溫故知新，通過對(duì)上節(jié)指數(shù)函數(shù)問題的回顧，提出新的問題，構(gòu)建對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

通過對(duì)指數(shù)函數(shù)回顧，類比得出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念質(zhì)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；

通過典例問題的分析，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉對(duì)數(shù)函數(shù)的概念性。培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)。

求解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)；

通過對(duì)應(yīng)用問題的解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；