角平分線教案

1．復習角平分線的相關(guān)知識，探究歸納角平分線的性質(zhì)和判定定理；(重點)

2．能夠運用角平分線的性質(zhì)和判定定理解決問題．(難點)

一、情境導入

問題：在S區(qū)有一個集貿(mào)市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點建兩條路，一條到公路，一條到鐵路．

問題1：怎樣修建道路最短？

問題2：往哪條路走更近呢？

二、合作探究

探究點一：角平分線的性質(zhì)定理

【類型一】應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理證明線段相等

如圖，在△ABC中，∠C＝90，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF.求證：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.

解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點D到AB的距離等于點D到AC的距離，即CD＝DE.再根據(jù)Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分線的性質(zhì)證明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通過線段之間的相互轉(zhuǎn)化進行證明．

證明：(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；

(2)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC與△ADE中，∵

∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

方法總結(jié)：角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個重要依據(jù)，在應(yīng)用時一定要注意是兩條“垂線段”相等．

【類型二】角平分線的性質(zhì)定理與三角形面積的綜合運用

如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()

A．6 B．5 C．4 D．3

解析：過點D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝42＋AC2＝7，解得AC＝3.故選D.

方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．

【類型三】角平分線的性質(zhì)定理與全等三角形的綜合運用

如圖所示，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.

解析：由角平分線上的性質(zhì)可得DE＝DF，再利用“HL”證明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．

證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.

方法總結(jié)：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件．

探究點二：角平分線的判定定理

【類型一】角平分線的判定

如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線．

解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分線的判定可知AD是∠BAC的平分線．

證明：∵DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE與△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分線．

方法總結(jié)：證明一條射線是角平分線的方法有兩種：一是利用三角形全等證明兩角相等；二是角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角平分線上．

【類型二】角平分線的性質(zhì)和判定的綜合

如圖所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F.下面給出四個結(jié)論，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的點到B、C兩點的距離相等；④到AE、AF距離相等的點，到DE、DF的距離也相等．其中正確的結(jié)論有()

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正確；②AE＝AF正確；中垂線上的點到兩端點的距離相等，故③正確；∵④到AE、AF距離相等的點，在∠BAC的角平分線AD上，到DE、DF的距離相等的點在∠EDF的平分線DA上，兩者同一條直線上，所以到DE、DF的距離也相等正確，故④正確；①②③④都正確．故選D.

方法總結(jié)：運用角平分線的性質(zhì)或判定時，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段或角相等．

【類型三】添加輔助線解決角平分線的問題

如圖，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點D.求證：AD是∠BAC的平分線．

解析：分別過點D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，然后利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知DE＝DG，再利用到角兩邊距離相等的點在角平分線上來證明．

證明：分別過D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴點D在∠BAC的平分線上，∴AD是∠BAC的平分線．

方法總結(jié)：在遇到角平分線的問題時，往往過角平分線上的一點作角兩邊的垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)解決問題．

【類型四】線段垂直平分線與角平分線的綜合運用

如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.