集合的概念教學(xué)設(shè)計（2）

由于空間時間維度的不同，同一個事物會有不同的解釋，如：在平面內(nèi)，所有到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成一個圓；而在空間中，所有到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成一個球面。因此明確研究對象、確定研究范圍是研究數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。為了簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)對象及研究范圍，我們需要使用集合的語言和工具。作為高中數(shù)學(xué)的第一節(jié)，本節(jié)主要通過實例研究研究集合的含義，表示方法及表示方法，比較簡單。

課程目標(biāo)

1. 了解集合的含義；理解元素與集合的“屬于”與“不屬于”關(guān)系；熟記常用數(shù)集專用符號．

2. 深刻理解集合元素的確定性、互異性、無序性；能夠用其解決有關(guān)問題．

3. 會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合。感受集合語言的意義和作用。

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；

2.邏輯推理：集合的互異性的辨析與應(yīng)用；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：集合相等時的參數(shù)計算，集合的描述法轉(zhuǎn)化為列舉法時的運(yùn)算；

4.數(shù)據(jù)分析：元素在集合中對應(yīng)的參數(shù)滿足的條件；

5.數(shù)學(xué)建模：用集合思想對實際生活中的對象進(jìn)行判斷與歸類。

重點(diǎn)：集合的基本概念，集合中元素的三個特性，元素與集合的關(guān)系，集合的表示方法．

難點(diǎn)：元素與集合的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎揪唧w問題中的集合．

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、 預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本2-5頁，思考并完成以下問題

1.集合和元素的含義是什么？各用什么字母表示？

2.集合有什么特性？

3.元素和集合之間有哪兩種關(guān)系？有什么符號表示？

4.常見的數(shù)集有哪些？用什么字母表示？

5.集合有哪兩種表示方法？它們?nèi)绾味x？

6.它們各自有什么特點(diǎn)？

7.它們使用什么符號表示？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

二、知識歸納、梳理

1．元素與集合的概念

(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素．元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．

(2)集合：把一些元素組成的 總體 叫做集合(簡稱為集)．集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．

(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．

(4)元素的特性：確定性 、 無序性 、 互異性．

2．元素與集合的關(guān)系

3．常用的數(shù)集及其記法

4．列舉法

把集合的元素一一列舉出來出來，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法．

5．描述法

(1)定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．

(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的 共同特征．

三、典例分析、舉一反三

題型一 集合的含義

例1 考查下列每組對象，能構(gòu)成一個集合的是( )

①某校高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生；

②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；

③不小于3的自然數(shù)；

④2018年第23屆冬季奧運(yùn)會金牌獲得者．

A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④

【答案】B

解題技巧：（判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)）

判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合．同時還要注意集合中元素的互異性、無序性．

跟蹤訓(xùn)練一

1．給出下列說法：

①中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個集合；

②高一(1)班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個集合；

③正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個集合；

④大于2 013且小于2 018的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合．

其中正確的有________．(填序號)

【答案】①③

題型二 元素與集合的關(guān)系

例2 (1)下列關(guān)系中，正確的有 ( )

①∈R；②?Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

(2)集合A中的元素x滿足∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．

【答案】 (1) C (2) 0,1,2

解題技巧：判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法

（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可。

（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征。

跟蹤訓(xùn)練二

2．已知集合A中有四個元素0,1,2,3，集合B中有三個元素0,1,2，且元素a∈A，a?B，則a的值為 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】∵a∈A，a?B，∴由元素與集合之間的關(guān)系知，a＝3.

3．用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?/p>

已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，則有：17________A；－5________A.

【答案】∈ ?

【解析】令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.

令3k＋2＝－5得，k＝－?Z.所以－5?A.

題型三 集合中元素的特性及應(yīng)用

例3 已知集合A含有兩個元素a和a2，若1∈A，則實數(shù)a的值為________．

【答案】-1

【解析】 若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝1.

當(dāng)a＝1時，集合A有重復(fù)元素，不符合元素的互異性，∴a≠1；

當(dāng)a＝－1時，集合A含有兩個元素1，－1，符合元素的互異性．∴a＝－1.

變式1．[變條件]本例若將條件“1∈A”改為“2∈A”，其他條件不變，求實數(shù)a的值．

【答案】a＝2，或a＝，或a＝－

【解析】若2∈A，則a＝2或a2＝2，即a＝2，或a＝，或a＝－.

變式2．[變條件]本例若去掉條件“1∈A”，其他條件不變，則實數(shù)a的取值范圍是什么？

【答案】a≠0且a≠1

【解析】若A中有兩個元素a和a2，則由a≠a2解得a≠0且a≠1.

變式3．[變條件]已知集合A含有兩個元素1和a2，若“a∈A”，求實數(shù)a的值．

【答案】a=0

【解析】由a∈A可知，

當(dāng)a＝1時，此時a2＝1，與集合元素的互異性矛盾，所以a≠1.

當(dāng)a＝a2時，a＝0或1(舍去)．綜上可知，a＝0.

解題技巧：（根據(jù)集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的3個步驟）

題型四 用列舉法表示集合

例4 用列舉法表示下列集合．

(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；

(2)方程x3＝x的所有實數(shù)解組成的集合；

(3)直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合．

【答案】見解析

【解析】 (1)因為不大于10是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．

(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解組成的集合為{0,1，－1}．

(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0,1)，

故兩直線的交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}．

解題技巧（用列舉法表示集合的三個步驟）

1.求出集合的元素；

2.把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次；

3.用花括號括起來。

跟蹤訓(xùn)練四

4．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，則集合A中元素的個數(shù)是 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有兩個元素(1,2)和(3,4)．

5．用列舉法表示下列給定的集合：

(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A.

(2)方程x2－9＝0的實數(shù)根組成的集合B方.

(3)一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.

【答案】見解析

【解析】(1)因為大于1且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．

(2)方程x2－9＝0的實數(shù)根為－3,3，所以B＝{－3,3}．

(3)由得

所以一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點(diǎn)為(1,4)，所以D＝{(1,4)}．

題型五 用描述法表示集合

例5 用描述法表示下列集合：

(1)被3除余1的正整數(shù)的集合；

(2)坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的點(diǎn)的集合；

(3)大于4的所有偶數(shù)．

【答案】見解析

【解析】(1)根據(jù)被除數(shù)＝商除數(shù)＋余數(shù)，可知此集合表示為{x|x＝3n＋1，n∈N}．

(2)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均大于零，故此集合可表示為{(x，y)|x＞0，y＞0}．

(3)偶數(shù)可表示為2n，n∈Z，又因為大于4，故n≥3，從而用描述法表示此集合為{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．

解題技巧（描述法表示集合的2個步驟）

跟蹤訓(xùn)練五

6．用符號“∈”或“?”填空：

(1)A＝{x|x2－x＝0}，則1________A，－1________A；

(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．

【答案】(1)∈ ? (2)∈

【解析】(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－1?A；

(2)將x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．

7．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；

(2)拋物線y＝x2－2x與x軸的公共點(diǎn)的集合；

(3)直線y＝x上去掉原點(diǎn)的點(diǎn)的集合．

【答案】見解析

【解析】(1)列舉法：P＝{0,2,4}．

(2)描述法：.

或列舉法：{(0,0)，(2,0)}．

(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．

題型六 集合表示法的綜合應(yīng)用

例6 (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一個元素，則a＝ ( )

A．1 B．2 C．0 D．0或1

(2)設(shè)∈，則集合中所有元素之積為________．

【答案】 (1) D (2)

【解析】 (1)當(dāng)a＝0時，原方程變?yōu)?x＋1＝0，此時x＝－，符合題意；

當(dāng)a≠0時，方程ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，

Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解為x＝－1，符合題意．

故當(dāng)a＝0或a＝1時，原方程只有一個解，此時A中只有一個元素．

(2)因為∈，所以2－a－＝0，解得：a＝－，

當(dāng)a＝－時，方程x2－x＋＝0的判別式Δ＝ 2－4＝>0，

所以集合的所有元素的積為方程的兩根之積等于.

解題技巧：(集合表示法中元素與集合的關(guān)系)

1.若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合屬性是關(guān)鍵；

2.若已知集合是用列舉法表示的，把握元素的共同特征是關(guān)鍵；

跟蹤訓(xùn)練六

8．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．

【答案】見解析

【解析】由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的兩根為2,3，由根與系數(shù)的關(guān)系得，因此a＝5，b＝6.

9．設(shè)集合B＝.試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；用列舉法表示集合B.

【答案】見解析

【解析】(1)當(dāng)x＝1時，＝2∈N.

當(dāng)x＝2時，＝?N.所以1∈B,2?B.

(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.

∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}.