圖形面積的最大值教案

1．能根據(jù)實(shí)際問題列出函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)問題的實(shí)際情況確定自變量取何值時，函數(shù)取得最值；(重點(diǎn))

2．通過建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，提高用數(shù)學(xué)的意識，在解決問題的過程中體會數(shù)形結(jié)合思想．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

如圖所示，要用長20m的鐵欄桿，圍成一個一面靠墻的長方形花圃，怎么圍才能使圍成的花圃的面積最大？

如果花圃垂直于墻的一邊長為xm，花圃的面積為ym2，那么y＝x(20－2x)．試問：x為何值時，才能使y的值最大？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的最值

已知二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋a－1的最小值為2，則a的值為()

A．3 B．－1 C．4 D．4或－1

解析：∵二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故選C.

方法總結(jié)：求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種是由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題

探究點(diǎn)二：利用二次函數(shù)求圖形面積的最大值

【類型一】利用二次函數(shù)求矩形面積的最大值

如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．

(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；

(2)當(dāng)x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？

(3)若墻的最大可用長度為8米，則求圍成花圃的最大面積．

解析：(1)根據(jù)AB為xm，則BC為(24－4x)m，利用長方形的面積公式，可求出關(guān)系式；(2)由(1)可知y和x為二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求圍成的長方形花圃的最大面積及對應(yīng)的AB的長；(3)根據(jù)BC的長度大于0且小于等于8列出不等式組求解即可．

解：(1)∵AB＝x，∴BC＝24－4x，∴S＝ABBC＝x(24－4x)＝－4x2＋24x(0＜x＜6)；

(2)S＝－4x2＋24x＝－4(x－3)2＋36，∵0＜x＜6，∴當(dāng)x＝3時，S有最大值為36；

(3)∵∴4≤x＜6.

所以，當(dāng)x＝4時，花圃的面積最大，最大面積為32平方米．

方法總結(jié)：根據(jù)已知條件列出二次函數(shù)式是解題的關(guān)鍵．但要注意不要漏掉題中自變量的取值范圍．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題

【類型二】利用割補(bǔ)法求圖形的最大面積

在矩形ABCD的各邊AB，BC，CD，DA上分別選取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使得AE＝AH＝CF＝CG，如果AB＝60，BC＝40，四邊形EFGH的最大面積是()

A．1350 B．1300 C．1250 D．1200

解析：設(shè)AE＝AH＝CF＝CG＝x，四邊形EFGH的面積是S.由題意得BE＝DG＝60－x，BF＝DH＝40－x，則S△AHE＝S△CGF＝x2，S△DGH＝S△BEF＝(60－x)(40－x)，所以四邊形EFGH的面積為S＝6040－x2－(60－x)(40－x)＝－2x2＋100x＝－2(x－25)2＋1250(0＜x≤40)．當(dāng)x＝25時，S最大值＝1250.故選C.

方法總結(jié)：考查利用配方法求二次函數(shù)的最值，先配方，確定函數(shù)的對稱軸，再與函數(shù)的自變量的取值范圍結(jié)合即可求出四邊形EFGH的面積最大值．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第7題

【類型三】動點(diǎn)問題中的最值問題

如圖，在矩形ABCD中，AB＝m(m是大于0的常數(shù))，BC＝8，E為線段BC上的動點(diǎn)(不與B、C重合)．連接DE，作EF⊥DE，垂足為E，EF與線段BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE＝x，BF＝y(tǒng).

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若m＝8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

(3)若y＝，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？

解析：(1)利用互余關(guān)系找角相等，證明△BEF∽△CDE，根據(jù)對應(yīng)邊的比相等求函數(shù)關(guān)系式；(2)把m的值代入函數(shù)關(guān)系式，再求二次函數(shù)的最大值；(3)∵∠DEF＝90，只有當(dāng)DE＝EF時，△DEF為等腰三角形，把條件代入即可．

解：(1)∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90－∠CED＝∠CDE.又∠B＝∠C＝90，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；

(2)由(1)得y＝，將m＝8代入，得y＝－x2＋x＝－(x2－8x)＝－(x－4)2＋2，所以當(dāng)x＝4時，y取得最大值為2；

(3)∵∠DEF＝90，∴只有當(dāng)DE＝EF時，△DEF為等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此時m＝8－x.解方程＝，得x＝6，或x＝2.當(dāng)x＝2時，m＝6；當(dāng)x＝6時，m＝2.

方法總結(jié)：在解題過程中，要充分運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)建立函數(shù)關(guān)系式，是解決問題的關(guān)鍵．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第5題

【類型四】圖形運(yùn)動過程中的最大面積問題

如圖，有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，點(diǎn)B、C、Q、R在同一條直線l上，當(dāng)C、Q兩點(diǎn)重合時，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線l按箭頭所示方向開始勻速運(yùn)動，t秒后正方形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積為Scm2.解答下列問題：

(1)當(dāng)t＝3秒時，求S的值；

(2)當(dāng)t＝5秒時，求S的值；

(3)當(dāng)5秒≤t≤8秒時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

解析：當(dāng)t＝3秒和5秒時，利用三角形相似求出重合部分的面積．當(dāng)5秒≤t≤8秒時，利用二次函數(shù)求出重合部分面積的最大值．

解：(1)如圖①，作PE⊥QR，E為垂足．∵PQ＝PR，∴QE＝RE＝QR＝4cm.在Rt△PEQ中，PE＝＝3(cm)．當(dāng)t＝3秒時，QC＝3cm.設(shè)PQ與DC交于點(diǎn)G.∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP.∴＝()2.∵S△QEP＝43＝6，∴S＝()26＝(cm2)；

(2)如圖②，當(dāng)t＝5秒時，CR＝3cm.設(shè)PR與DC交于G，由△RCG∽△REP，可求出CG＝，∴S△RCG＝3＝(cm2)．又∵S△PQR＝83＝12(cm2)，∴S＝S△PQR－S△RCG＝12－＝(cm2)；

圖③

(3)如圖③，當(dāng)5秒≤t≤8秒時，QB＝t－5，RC＝8－t.設(shè)PQ交AB于點(diǎn)H，PR交CD于點(diǎn)G.由△QBH∽△QEP，EQ＝4，∴BQ∶EQ＝(t－5)∶4，∴S△BQH∶S△PEQ＝(t－5)2∶42，又S△PEQ＝6，∴S△QBH＝(t－5)2.由△RCG∽△REP，同理得S△RCG＝(8－t)2，∴S＝12－(t－5)2－(8－t)2＝－t2＋t－.當(dāng)t＝－＝時，S最大，S的最大值＝＝(cm2)．

方法總結(jié)：本題是一個圖形運(yùn)動問題，解題的方法是將各個時刻的圖形分別畫出，由“靜”變“動”，再設(shè)法求解，這種分類畫圖的方法在解動態(tài)的幾何問題時非常有效．

探究點(diǎn)三：利用二次函數(shù)解決拱橋問題

一座拱橋的輪廓是拋物線形(如圖①)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m.

(1)將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖②)，求拋物線的解析式；

(2)求支柱EF的長度；

(3)拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛?cè)v寬2m、高3m的汽車(汽車間的間隔忽略不計)？請說明你的理由．

解析：(1)根據(jù)題目可知A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解；(2)設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，yF)，求出yF，即可求出支柱EF的長度；(3)設(shè)DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和．作GH⊥AB交拋物線于點(diǎn)H，求出點(diǎn)H的縱坐標(biāo)，判斷是否大于汽車高度即可求解．

解：(1)根據(jù)題目條件，A，B，C的坐標(biāo)分別是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋c，將B，C的坐標(biāo)代入y＝ax2＋c，得解得所以拋物線的解析式為y＝－x2＋6；