數(shù)列的概念（1）教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.

B.掌握數(shù)列的分類.

C.理解數(shù)列的函數(shù)特征,掌握判斷數(shù)列增減性的方法.

D.掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的概念及其應(yīng)用,能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)列的概念及表示、數(shù)列的分類

2.邏輯推理：求數(shù)列的通項(xiàng)公式

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)

4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)列的概念

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、 情景導(dǎo)學(xué)

古語(yǔ)云:“勤學(xué)如春起之苗,不見其增,日有所長(zhǎng)”如果對(duì)“春起之苗”每日用精密儀器度量,則每日的高度值按日期排在一起,可組成一個(gè)數(shù)列. 那么什么叫數(shù)列呢?

二、問題探究

1. 王芳從一歲到17歲，每年生日那天測(cè)量身高，將這些身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）依次排成一列數(shù)：

75,87,96,103,110,116,120,128,138，

145,153,158,160,162,163,165,168 ①

記王芳第的身高為，那么=75 , =87, =168.我們發(fā)現(xiàn)中的反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時(shí)的確定位置，即=75 是排在第1位的數(shù)，=87是排在第2位的數(shù) =168是排在第17位的數(shù)，它們之間不能交換位置，所以①具有確定順序的一列數(shù)。

2. 在兩河流域發(fā)掘的一塊泥板（編號(hào)K90，約生產(chǎn)于公元

前7世紀(jì)）上，有一列依次表示一個(gè)月中從第1天到第15天，

每天月亮可見部分的數(shù)：

5,10,20,40,80,96,112,128,

144,160,176,192,208,224,240. ②
記第月亮可見部分的數(shù)為, 那么=5 , =10, =240.這里，中的反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1~15順序排列時(shí)的確定位置，即=5是排在第1位的數(shù)，=10是排在第2位的數(shù)=240是排在第15位的數(shù)，它們之間不能交換位置，所以，②也是具有確定順序的一列數(shù)。

3. -次冪按1次冪， 2次冪, 3次冪, 4次冪……依次排成一列數(shù)：

- ，，- ，… ③

思考：你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？

一、數(shù)列

1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.

2.項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),常用符號(hào)a1表示;第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng),用a2表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).

3.表示:數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡(jiǎn)記為{an}.

點(diǎn)睛：(1)數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個(gè)數(shù)列是不相同的數(shù)列,

例如1,2,3,…與3,2,1…就是不同的數(shù)列.

(2)符號(hào){an}和an是不同的概念,{an}表示一個(gè)數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項(xiàng).

二、數(shù)列的分類

三、數(shù)列與函數(shù)

數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，

其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，

記為an＝f(n)．

另一方面，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，

如果f(n)(n∈N*)有意義，

那么 構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列{f(n)}．

f(1)，f(2)，…，f(n)，…

1. 下列敘述正確的是( )

A.所有數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類

B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號(hào)唯一確定

C.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}

D.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中不可能重復(fù)出現(xiàn)

解析:按項(xiàng)的變化趨勢(shì),數(shù)列可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列等數(shù)列,A錯(cuò)誤;數(shù)列1,3,5,7與由實(shí)數(shù)1,3,5,7組成的集合{1,3,5,7}是兩個(gè)不同的概念,C錯(cuò)誤;同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn),如2,2,2,…表示由實(shí)數(shù)2構(gòu)成的常數(shù)列,D錯(cuò)誤;對(duì)于給定的數(shù)列,數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號(hào)唯一確定,B正確.

答案:B

四、數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

點(diǎn)睛：(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}為定義域的函數(shù)表達(dá)式.

(2)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.

(3)同一數(shù)列的通項(xiàng)公式,其表達(dá)形式可以是不唯一的,例如數(shù)列

-1,1,-1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等.

1.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-1,則該數(shù)列的第10項(xiàng)a10= ,224是該數(shù)列的第 項(xiàng).

解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,

即224是該數(shù)列的第15項(xiàng).

答案:99 15

三、典例解析

例1. 根據(jù)下列數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，寫出數(shù)列的前5項(xiàng),并畫出它們的圖像.
（1） （2）

解:（1）當(dāng)通項(xiàng)公式中的n=1，2，3，4，5 時(shí)，數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為1,3,6,10,15
如圖所示(1)

（2）當(dāng)通項(xiàng)公式中的n=1，2，3，4，5 時(shí)，數(shù)列 {an}的前5項(xiàng)依次為1,0,-1,0,1

如圖所示(2)

例2. 根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng),寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

(1),2,,8,,…;

(2)1,-3,5,-7,9,…;

(3)9,99,999,9 999,…;

(4),…;

(5)-,-,…;

(6)4,0,4,0,4,0,….

解:(1)數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察,,…,所以,它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=.

(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值分別為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù),其通項(xiàng)公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).

(3)各項(xiàng)加1后,分別變?yōu)?0,100,1 000,10 000,…,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1.

(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其通項(xiàng)公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù),其通項(xiàng)公式為n,綜合得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=.

(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n.

(6)由于該數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)全部都是4,偶數(shù)項(xiàng)全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項(xiàng)公式,即an=又因?yàn)閿?shù)列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通項(xiàng)公式又可表示為an=2+2(-1)n+1.

根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫通項(xiàng)公式的具體思路為:

(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.

(2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的關(guān)系.

(3)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對(duì)值,再用(-1)k處理符號(hào).

(4)對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列,考慮利用周期函數(shù)的知識(shí)解答.

2.常見數(shù)列的通項(xiàng)公式

(1)數(shù)列-1,1,-1,1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n,數(shù)列1,-1,1,-1,…

的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.

(2)數(shù)列1,2,3,4,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n.

(3)數(shù)列1,3,5,7,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.

(4)數(shù)列2,4,6,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n.

(5)數(shù)列1,2,4,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.

(6)數(shù)列1,4,9,16,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n2.

(7)數(shù)列1,3,6,10,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=.

(8)數(shù)列1,,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=.

跟蹤訓(xùn)練1.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

(1)1,; (2)2,4,6,8;

(3)3,5,9,17; (4);

(5)7,77,777,7 777.

解:(1)an=;(2)an=2n+;(3)an=2n+1;

(4)an=;(5)an=(10n-1).

例3 (1)已知數(shù)列{an}滿足an=n2-5n-6,n∈N*.

①數(shù)列中有哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)?

②當(dāng)n為何值時(shí),an取得最小值?求出此最小值.

(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(n+1)(n∈N*),試問數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒有,請(qǐng)說明理由.

分析:(1)①根據(jù)數(shù)列的函數(shù)的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

(2)數(shù)列{an}的通項(xiàng)計(jì)算an+1-an確定單調(diào)性求解最大(小)項(xiàng)

(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0

∵n∈N*,∴數(shù)列中第1,2,3,4,5項(xiàng)為負(fù)數(shù),

即-10,-12,-12,-10,-6.

②an=n2-5n-6=,當(dāng)n=2,3時(shí),an取得最小值,最小值為-12.

(2)解法一:∵an+1-an=(n+2)-(n+1)

=,

∴當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;

當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;

當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,即an+1

故a1a11>a12>…,

∴數(shù)列中有最大項(xiàng),最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng),即a9=a10=.

解法二:設(shè)ak是數(shù)列{an}的最大項(xiàng),

則

整理,得得9≤k≤10,

所以k=9或k=10.又a1=

求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的兩種方法

(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),如單調(diào)性、最大值、最小值等,此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2,…,n}這一條件.

(2)可以利用不等式組(n>1)找到數(shù)列的最大項(xiàng);

利用不等式組(n>1)找到數(shù)列的最小項(xiàng).

變式探究：在本例(2)中,若已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an=,n∈N*,試求該數(shù)列{an}的最小項(xiàng).

解:設(shè)第n項(xiàng)an最小,則

即解得

所以5≤n≤6,所以n=5或n=6.又a1=>a5=a6,

即a5與a6都是數(shù)列的最小項(xiàng),且a5=a6=.

通過古詩(shī)及生活中的情景，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光，分析問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過具體問題的思考和分析，幫助學(xué)生觀察、分析、歸納總結(jié)出數(shù)列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過數(shù)列概念的解讀，并與集合、函數(shù)概念的比較，深化對(duì)數(shù)列概念的理解。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題，加深學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

通過典型例題，幫助靈活運(yùn)用數(shù)列的概念解決問題，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。