導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義教學(xué)設(shè)計

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，體會導(dǎo)數(shù)的概念的實際背景．

B.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

1.數(shù)學(xué)抽象：導(dǎo)數(shù)的概念

2.邏輯推理：導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3.數(shù)學(xué)運算：求曲線在某點處切線的斜率

4.直觀想象：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、新知探究

前面我們研究了兩類變化率問題：一類是物理學(xué)中的問題，涉及平均速度和瞬時速度；另一類是幾何學(xué)中的問題，涉及割線斜率和切線斜率。這兩類問題來自不同的學(xué)科領(lǐng)域，但在解決問題時，都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時變化率”的思想方法；問題的答案也是一樣的表示形式。下面我們用上述思想方法研究更一般的問題。

探究1： 對于函數(shù)，設(shè)自變量從變化到+，相應(yīng)地，函數(shù)值就從變化到。這時， 的變化量為，的變化量為

我們把比值，即=

叫做函數(shù)從到的平均變化率。

1．導(dǎo)數(shù)的概念

如果當(dāng)Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f (x)在x＝x₀處____，并把這個________叫做y＝f (x)在x＝x₀處的導(dǎo)數(shù)(也稱為__________)，記作f ′(x₀)或________，即

f ′(x₀)＝ ＝ .

可導(dǎo)； 確定的值； 瞬時變化率； y′|；；

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，問題1中運動員在t =1時的瞬時速度，就是函數(shù)h(t)＝－4.9t²＋4.8t＋11.

在t =1處的導(dǎo)數(shù)(1) ；問題2中拋物線在點(1,1)

處的切線T的斜率，就是函數(shù)在x =1處的導(dǎo)數(shù)(1) ，實際上，導(dǎo)數(shù)可以描述任何運動變化事物的瞬時變化率，如效率、國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的增長率等。

例1 設(shè) 求.

解：=

=1

利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)

??1?取極限前，要注意化簡，保證使Δx→0時分母不為0.

??函數(shù)在x₀處的導(dǎo)數(shù)f ′?x₀?只與x₀有關(guān)，與Δx無關(guān).

?3?導(dǎo)數(shù)可以描述事物的瞬時變化率，應(yīng)用非常廣泛.

跟蹤訓(xùn)練1. (1)若函數(shù)y＝f (x)在x＝x₀處可導(dǎo)，

則等于( )

A．f ′(x₀) B．2f ′(x₀) C．－2f ′(x₀) D．0

(2)求函數(shù)y＝3x²在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．

(1)B [∵Δx＝(x₀＋h)－(x₀－h(huán))＝2h.∴＝2＝2f ′(x₀)．故選B.]

(2)解：∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)²－3＝6Δx＋3(Δx)²，

∴＝6＋3Δx，∴f ′(1)＝＝ (6＋3Δx)＝6.

跟蹤訓(xùn)練2．建造一棟面積為x m²的房屋需要成本y萬元，y是x的函數(shù)，y＝f (x)＝＋＋0.3，求f ′(100)，并解釋它的實際意義．

[解] 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得

f ′(100)＝＝

＝

＝

＝

＝＋

＝0.105.

f ′(100)＝0.105表示當(dāng)建筑面積為100 m²時，成本增加的速度為1 050元/m².

探究2：我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時變化率，反映了函數(shù)在附近的變化情況，那么導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？

觀察函數(shù)，

平均變化率

=表示什么?

瞬時變化率

==表示什么？

2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

如圖，割線P₀P的斜率k＝___________.記Δx＝x－x₀，當(dāng)點P沿著曲線y＝f (x)無限趨近于點P₀時，即當(dāng)Δx→0時，k無限趨近于函數(shù)y＝f (x)在x＝x₀處的導(dǎo)數(shù)，因此，函數(shù)y＝f (x)在x＝x₀處的導(dǎo)數(shù)f ′(x₀)就是__________的斜率k₀，即k₀＝＝f ′(x₀)．

；切線P₀T

3．導(dǎo)函數(shù)

對于函數(shù)y＝f (x)，當(dāng)x＝x₀時，f ′(x₀)是一個唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時，f ′(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為y＝f (x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱為導(dǎo)數(shù))，即f ′(x)＝y(tǒng)′＝ .

例4. 如圖是高臺跳水運動中運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數(shù)

h(t)＝－4.9t²＋4.8t＋11的圖像，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線h(t)在t=

附近的變化情況。

解：我們用曲線h(t)在t=處的切線斜率，刻畫曲線h(t) 在上述三個時刻附近的變化情況
（1）當(dāng)t=時，曲線h(t)在t=處的切線平行于t軸，=0,

這時，在t=附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降；
（2）當(dāng)t=時，曲線h(t)在t=處的切線斜率<0,這時,

在t=附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=附近單調(diào)遞減；
（3）當(dāng)t=時，曲線h(t)在t=處的切線斜率<0,

這時,在t=附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=附近單調(diào)遞減；
從圖可以看出，直線傾斜程度小于直線傾斜程度，這說明曲線h(t)在t=附近比在t=附近下降得緩慢。

導(dǎo)數(shù)幾何意義理解中的兩個關(guān)鍵

關(guān)鍵點一：y＝f ?x?在點x＝x₀處的切線斜率為k，則k＞0?f ′?x₀?＞0；k＜0?f ′?x₀?＜0；k＝0?f ′?x₀?＝0.

關(guān)鍵點二：|f ′?x₀?|越大?在x₀處瞬時變化越快；|f ′?x₀?|越小?在x₀處瞬時變化越慢.

跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象可能是( )

(2)某家電制造集團(tuán)為盡快實現(xiàn)家電下鄉(xiāng)提出四種運輸方案，據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定時間T內(nèi)完成預(yù)期的運輸任務(wù)Q₀，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如下所示．在這四種方案中，運輸效率(單位時間內(nèi)的運輸量)逐步提高的是( )

[思路探究] (1)切線斜率大于零，則f ′(x)＞0；切線斜率小于零，則f ′(x)＜0；

(2)要明確運輸效率的含義，題設(shè)中已經(jīng)給出運輸效率即單位時間內(nèi)的運輸量，因此，運輸效率逐步提高就是指Q′(t)不斷增大．

(1)B (2)B [(1)由y＝f (x)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)x＜0時，f ′(x)＞0；當(dāng)x＝0時，f ′(x)＝0；當(dāng)x＞0時，f ′(x)＜0，故B符合．

(2)從函數(shù)圖象上看，要求圖象在[0，T]上越來越陡峭，在各選項中，只有B項中圖象的切線斜率在不斷增大，即運輸效率(單位時間內(nèi)的運輸量)逐步提高．故選B.]

通過對上節(jié)兩個基本問題的回顧，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出導(dǎo)數(shù)的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過具體問題的思考和分析，進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的意義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析，幫助學(xué)生掌握求解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過回顧曲線上某點出割線與切線斜率的問題，歸納出導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并能簡單應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素

通過典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及求曲線上某點處切線斜率的基本方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“”)

(1)函數(shù)y＝f (x)在x＝x₀處的導(dǎo)數(shù)即為在該點處的斜率，也就是k＝f ′(x₀)． ( )

(2)f ′(x₁)＞f ′(x₂)反映了曲線在x＝x₁處比在x＝x₂處瞬時變化率較大． ( )

(3)f ′(x₀)就是導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)在x₀處的函數(shù)值． ( )

(4)若f ′(x₀)＝0，則曲線在x＝x₀處切線不存在． ( )

解析： (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知正確．

(2)若|f (x₀)|越大，瞬時變化率越大，故錯誤．

(3)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義知正確．

(4)若f ′(x₀)＝0說明曲線在x＝x₀處切線平行于x軸，不能說不存在．

[答案] (1)√ (2) (3)√ (4)

2．已知函數(shù)y＝f (x)是可導(dǎo)函數(shù)，且f ′(1)＝2，則＝( )

A． B．2 C．1 D．－1

C [由題意可得：＝＝f ′(1)，即：＝2＝1.故應(yīng)選C.]

3．已知y＝f (x)的圖象如圖所示，則f ′(x_A)與f ′(x_B)的大小關(guān)系是( )

A．f ′(x_A)＞f ′(x_B) B．f ′(x_A)＜f ′(x_B)

C．f ′(x_A)＝f ′(x_B) D．不能確定

B 解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f ′(x_A)，f ′(x_B)分別是切線在點A、B處切線的斜率，由圖象可知f ′(x_A)＜f ′(x_B)．

4.若曲線y＝x²＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則( )

A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1

C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1

A 解析：由題意，知k＝y(tǒng)′|_x＝0＝＝1，

∴a＝1.又點(0，b)在切線上，∴b＝1，故選A.

5．已知曲線y＝2x²－7在點P處的切線方程為8x－y－15＝0，求切點P的坐標(biāo)．

[解] 設(shè)切點P(m，n)，切線斜率為k，

由y′＝＝＝ (4x＋2Δx)＝4x，得k＝y(tǒng)′|_x＝m＝4m.

由題意可知4m＝8，∴m＝2.

代入y＝2x²－7得n＝1.

故所求切點P為(2，1)．

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。