傾斜角與斜率教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué) 交通工程上一般用“坡度”來描述一段道路對(duì)于水平方向的傾斜程度,如圖,一輛汽車沿某條道路從A點(diǎn)前進(jìn)到B點(diǎn),在水平方向前進(jìn)的距離為AD,豎直方向上升的高度為DB(如果是下降,則DB的值為負(fù)實(shí)數(shù)),則坡度k=.k>0表示上坡,k<0表示下坡,為了實(shí)際應(yīng)用與安全,在道路鋪設(shè)時(shí)常要規(guī)劃坡度的大小.那么“坡度”是如何來刻畫道路的傾斜程度的呢?

二、探究新知

一、直線的傾斜角

點(diǎn)睛：傾斜角還可以這樣定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與x軸相交的直線,把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角.并規(guī)定:與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.

1.下列圖中表示直線傾斜角為( )

答案:C

2.直線x=1的傾斜角α= .

答案:90

二、直線的斜率

1.定義與表示

2.填表:斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系

90;0; (0，＋∞); (－∞，0)

3．思考辨析

(1)任一直線都有傾斜角，都存在斜率．( )

(2)傾斜角為135的直線的斜率為1.( )

(3)若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k＝tan α.( )

(4)直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)．( )

【解析】 (1)傾斜角為90時(shí)，斜率不存在．

(2)斜率應(yīng)為－1.(3)斜率有可能不存在．(4)√

4．一條直線的斜率等于1，則此直線的傾斜角等于________．

答案：45∵k＝tan α＝1.∴α＝45.

5．如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則( )

A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2

答案：D由圖可知，k1＜0，k2＞k3＞0.故選D.

我們知道，兩點(diǎn)也可以唯一確定一條直線。

如果知道直線上的兩點(diǎn)，怎么樣來求直線的斜率(傾斜角)呢？

當(dāng)為銳角時(shí)，，，，在中，

若為鈍角呢？

你還能用其它方法推導(dǎo)這個(gè)公式嗎？

三、直線的斜率公式

如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),則直線的斜率公式為k=.

點(diǎn)睛：1.運(yùn)用公式的前提是x1≠x2,即直線不與x軸垂直.

2.斜率公式與P1,P2在直線上的位置無關(guān),在直線上任取兩點(diǎn),得到的斜率是相同的.

3.需注意公式中橫、縱坐標(biāo)之差的順序,也可以寫成k=.即下標(biāo)的順序一致.

6.已知點(diǎn)P1(3,5),P2(-1,-3),則直線P1P2的斜率k等于( )

A.2 B.1 C.D.不存在

答案:A

例1 已知直線l過原點(diǎn),l繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)角α(0<α<180)后,恰好與y軸重合,求直線l轉(zhuǎn)動(dòng)前的傾斜角是多少?

思路分析:畫草圖→標(biāo)記α→找傾斜角與α的關(guān)系→求傾斜角

解:由題意畫出如下草圖.由圖可知:

當(dāng)α為鈍角時(shí),傾斜角為α-90,

當(dāng)α為銳角時(shí),傾斜角為α+90,

當(dāng)α為直角時(shí),傾斜角為0.綜上,直線l轉(zhuǎn)動(dòng)前的傾斜角為

直線的傾斜角的求法

求直線的傾斜角主要根據(jù)定義,其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,找準(zhǔn)傾斜角,有時(shí)要根據(jù)情況分類討論.

跟蹤訓(xùn)練1. 設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為α,如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45,得到直線l1,那么l1的傾斜角為( )

A.α+45 B.α-135

C.135-α D.當(dāng)0≤α<135時(shí),傾斜角為α+45;當(dāng)135≤α<180時(shí),傾斜角為α-135

解析:根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示:因?yàn)?≤α<180,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知:當(dāng)0≤α<135時(shí),l1的傾斜角為α+45;當(dāng)135≤α<180時(shí),l1的傾斜角為45+α-180=α-135.故選D.

答案:D

例2 已知直線l過點(diǎn)M(m+1,m-1),N(2m,1).

(1)當(dāng)m為何值時(shí),直線l的斜率是1?

(2)當(dāng)m為何值時(shí),直線l的傾斜角為90?

解:(1)kMN==1,解得m=.

(2)l的傾斜角為90,即l平行于y軸,所以m+1=2m,得m=1.

延伸探究1 本例條件不變,試求直線l的傾斜角為銳角時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解:由題意知>0,解得1

延伸探究2 若將本例中的“N(2m,1)”改為“N(3m,2m)”,其他條件不變,結(jié)果如何?

解:(1)由題意知=1,解得m=2.

(2)由題意知m+1=3m,解得m=.

直線斜率的計(jì)算方法

(1)判斷兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等,若相等,則直線的斜率不存在.

(2)若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相等,則可以用斜率公式k=(其中x1≠x2)進(jìn)行計(jì)算.

金題典例 光線從點(diǎn)A(2,1)射到y(tǒng)軸上的點(diǎn)Q,經(jīng)y軸反射后過點(diǎn)B(4,3),試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)

及入射光線的斜率.

解:(方法1)設(shè)Q(0,y),則由題意得kQA=-kQB.

∵kQA=,kQB=,∴=-.

解得y=,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0,,∴k入=kQA==-.

(方法2)設(shè)Q(0,y),如圖,點(diǎn)B(4,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B(-4,3),

kAB==-,由題意得,A、Q、B三點(diǎn)共線.

從而入射光線的斜率為kAQ=kAB=-.

所以,有,解得y=,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,).

光的反射問題中,反射角等于入射角,但反射光線的斜率并不等于入射光線的斜率.當(dāng)鏡面水平放置時(shí),它們之間是互為相反數(shù)的關(guān)系.另外,在光的反射問題中也經(jīng)常使用對(duì)稱的方法求解.

跟蹤訓(xùn)練2 一束光線從點(diǎn)A(-2,3)射入,經(jīng)x軸上點(diǎn)P反射后,通過點(diǎn)B(5,7),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(方法1)由光的反射原理,知kAP=-kBP,

設(shè)P(x,0),則=-,解得x=,即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,0).

(方法2)由題意,知x軸是鏡面,入射點(diǎn)A(-2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A1(-2,-3),則點(diǎn)A1應(yīng)在反射光線所在的直線上,即A1,P,B三點(diǎn)共線,即=kPB,,解得x=,即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,0).

通過生活中的現(xiàn)實(shí)情境，提出問題，幫助學(xué)生建立傾斜角與斜率的概念，引導(dǎo)學(xué)生回顧初中坡腳概念及三角函數(shù)知識(shí)，為直線傾斜角和斜率作知識(shí)上的準(zhǔn)備。

由坐標(biāo)系中的直線，讓學(xué)生理解直線傾斜角和斜率的概念。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生加深對(duì)直線傾斜角和斜率概念的理解，提升概念運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進(jìn)一步讓理解直線傾斜角和斜率的概念，提升推理論證能力，進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法解決問題的基本思想。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.若直線l經(jīng)過第二、第四象限,則直線l的傾斜角范圍是( )

A.0≤α<90 B.90≤α<180

C.90<α<180 D.0<α<180

答案:C

2.過點(diǎn)A(-)與點(diǎn)B(-)的直線的傾斜角為( )

A.45 B.135 C.45或135 D.60

解析:kAB==1,故直線的傾斜角為45.答案:A

3.過點(diǎn)P(-2,m),Q(m,4)的直線的斜率為1,那么m的值為( )

A.1或4 B.4 C.1或3 D.1

解析:由k==1,得m=1. 答案:D

4.光線從點(diǎn)A(-2,)射到x軸上的B點(diǎn)后,被x軸反射,這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)C(1,2),則光線BC所在直線的傾斜角為 .

解析:點(diǎn)A(-2,)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(-2,-),由物理知識(shí)知kBC=kAC=,所以所求傾斜角為60.

答案:60

5．直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍．

【解析】如圖所示．

∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，

∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，

∴45≤α≤120.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。