總體取值規(guī)律的估計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)

課題

9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)

單元

第九單元

學(xué)科

數(shù)學(xué)

年級(jí)

高一

教材分析

本節(jié)內(nèi)容是抽樣的基礎(chǔ)上，對(duì)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，同時(shí)，利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體情況，主要針對(duì)頻率分布表和頻率分布直方圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的學(xué)習(xí)。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的分布情況；

2.邏輯推理：通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

3.數(shù)學(xué)建模：利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體，同時(shí)提出相應(yīng)的方案措施。

4.直觀想象：通過(guò)頻率分布表和頻率分布直方圖直觀估計(jì)總體的分布情況；

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠畫(huà)頻率分布直方圖；

6.數(shù)據(jù)分析:通過(guò)經(jīng)歷提出問(wèn)題—推導(dǎo)過(guò)程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)

頻率分布表和頻率分布直方圖，總體百分位數(shù)的估計(jì)

難點(diǎn)

頻率分布表和頻率分布直方圖

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

問(wèn)題導(dǎo)入：

問(wèn)題一：我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問(wèn)題較為突出，某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價(jià)制度，即確定一戶居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).如果希望確定一個(gè)比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，以使大部分居民用戶的水費(fèi)支出不受影響，你認(rèn)為需要做哪些工作？

標(biāo)準(zhǔn)如果定的太低，會(huì)影響很多居民的日常生活；標(biāo)準(zhǔn)如果太高，則不利于節(jié)水。

為了確定一個(gè)較為合理的用水標(biāo)準(zhǔn)，必須先了解在全市所有居民用戶中，月用水量在不同范圍內(nèi)的居民用戶所占的比例情況。

在時(shí)間、經(jīng)費(fèi)允許的情況下，我們可以通過(guò)全面調(diào)查獲得過(guò)去一年全市所有居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，進(jìn)而得到月均用水量在不同范圍內(nèi)的居民用戶所占的比例。

由于全市居民很多，通常采用抽樣調(diào)查的方式，通過(guò)分析樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，來(lái)估計(jì)全市居民用戶月均用水量的分布情況。

問(wèn)題二：在這個(gè)問(wèn)題中，總體、個(gè)體、調(diào)查變量分別是什么？

總體是該市的全體居民用戶，個(gè)體是每戶居民，調(diào)查變量是居民用戶的月均用水量。

假設(shè)通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：t）

問(wèn)題三：從這組數(shù)據(jù)我們能發(fā)現(xiàn)什么信息呢？

如果將這組數(shù)據(jù)按從小到大排序，發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最小值是1.3t,最大值是28.0t，其他在1.3t和28.0t之間。

為了更深入地挖掘數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息，需要對(duì)數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的整理與分析。

為了探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來(lái)。

在初中，我們?cè)妙l數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來(lái)整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù)。

在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，因?yàn)槲腋P(guān)心月均用水量在不同范圍內(nèi)的居民占全市居民用戶的比例，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖在整理和表示數(shù)據(jù)。

思考四：什么是頻數(shù)？什么是頻率？

頻數(shù)

在總體(或樣本）中，某個(gè)個(gè)體出現(xiàn)的次數(shù)叫做這個(gè)個(gè)體的頻數(shù)。

頻率

某個(gè)個(gè)體的頻數(shù)與總體(或樣本）中所含個(gè)體的數(shù)量的比叫做這個(gè)個(gè)體的頻率。

學(xué)生利用問(wèn)題回顧上節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，引出本節(jié)新課內(nèi)容——頻率分布直方圖。

設(shè)置問(wèn)題情境，回顧上節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，并引出本節(jié)新課。

講授新課

知識(shí)探究（一）：頻率分布表和頻率分布直方圖

與畫(huà)頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫(huà)頻率分布直方圖。

1.求極差

極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差。

樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的最小值是1.3t，最大值是28.0t，則極差為28.0-1.3=26.7，這樣說(shuō)明樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的變化范圍是26.7t.

2.決定組距與組數(shù)

組數(shù)太多或太少都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況。

組距與組數(shù)的確定沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)，常常需要一個(gè)嘗試和選擇的過(guò)程。數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，一般數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)越多，所分組數(shù)也越多。當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，常分成5~12組。數(shù)據(jù)分組可以是等距，也可以是不等距的。

但為了方便起見(jiàn)，一般取等長(zhǎng)組距，并且組距應(yīng)力求“取整”。

分組時(shí)可以先確定組距，也可以先確定組數(shù)。

如果取組距為3，則極差/組距=26.7/3=8.9

即可以將數(shù)據(jù)分為9組，這也說(shuō)明這個(gè)組距是比較合適的。

3.將數(shù)據(jù)分組

由于組距為3，9個(gè)組距的長(zhǎng)度超過(guò)極差，我們可以使第一組的左端點(diǎn)略小于數(shù)據(jù)中的最小值，最后一組的右斷點(diǎn)略大于數(shù)據(jù)中的最大值。例如，可以取區(qū)間為[1.2,28.2]，按如下方式把樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)以組距為3分為9組：[1.2,4.2),[4.2,7.2),~,[25.2,28.2]

4.列頻率分布表

計(jì)算各小組的頻率，例如第一小組的頻率是：第一組頻數(shù)/樣本容量=23/100=0.23.由此方法作出頻率分布表。

5.畫(huà)頻率分布直方圖

根據(jù)頻率分布表可以得到如下的頻率分布直方圖。在頻率分布直方圖中，橫軸表示月均用水量，縱軸表示頻率/組距。

在這里，我們發(fā)現(xiàn)，縱軸實(shí)際上就是頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的高，它反映了各組樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的疏密程度。

因?yàn)樾￠L(zhǎng)方形面積=組距（頻率/組距）=頻率，所以各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率。

由以上分析可知，頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小。

易知，在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積的綜合等于1，即樣本數(shù)據(jù)落在整個(gè)區(qū)間的頻率為1.

思考一：頻率分布直方圖與頻數(shù)分布直方圖有什么區(qū)別？

頻率分布直方圖的縱軸是頻率/組距，而頻數(shù)分布直方圖的縱軸是頻數(shù)。

知識(shí)探究（二）：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體情況

思考二：觀察上述頻率分布表和頻率分布直方圖，你覺(jué)得這組數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含了哪些有用的信息？你能發(fā)現(xiàn)居民用戶月均用水量的那些分布規(guī)律？你能給出適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言描述嗎？

從頻率分布表中可以看出，樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的比例大小。例如，月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)內(nèi)的居民用戶最多，在區(qū)間[1.2，4.2)內(nèi)的次之，而月均用水量超過(guò)16.2的各區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)所占比例較小，等等。

從頻率分布直方圖可以看出，居民用戶月均用水量的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的分布是不對(duì)稱的，圖形的左邊高、右邊低，右邊有一個(gè)較長(zhǎng)的“尾巴”。這表明大部分居民用戶的月均用水量集中在一個(gè)較低值區(qū)域，尤其在[1.2，7.2)最為集中，少數(shù)用戶居民的月均用水量偏多，而且隨著月均用水量的增加，居民用戶數(shù)呈現(xiàn)降低趨勢(shì)。

有了樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的頻率分布，我們可以用它估計(jì)總體的取值規(guī)律。根據(jù)100戶居民用戶的月均用水量的頻率分布，可以推測(cè)該市全體居民用戶月均用水量也會(huì)有類似的分布，即大部分居民用戶月均用水量集中在較低值區(qū)域。

這使我們確定用水量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，可以定一個(gè)合適的值，以達(dá)到既不影響大多數(shù)居民用戶的水費(fèi)支出，又能節(jié)水的目的。

需要注意的是，由于樣本的隨機(jī)性，這種估計(jì)可能會(huì)存在一定誤差，但這一誤差一般不會(huì)影響我們對(duì)總體分布情況的大致了解。

思考三：分別以3和27為組數(shù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行等距分組，畫(huà)出100戶居民用戶月均用水量的頻率分布直方圖。觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)不同的組數(shù)對(duì)于直方圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分布規(guī)律有什么影響？

從上圖可以看出，同一組數(shù)據(jù)，組數(shù)不同，得到的直方圖形狀也不盡相同。

圖（1）中直方圖的組數(shù)少、組距大，從圖中容易看出，數(shù)據(jù)分布的整體規(guī)律是隨著月均用水量的增加，居民用戶數(shù)的頻率在降低，而且月均用水量在區(qū)間[1.2，10.2)內(nèi)的居民用戶數(shù)的頻率，遠(yuǎn)大于在另兩個(gè)區(qū)間[10.2，19.2)和[19.2，28.2)內(nèi)的頻率，這說(shuō)明大部分居民用戶的月均用水量都少于10.2t。

圖（2）中直方圖的組數(shù)多、組距小，從圖中可以看出，數(shù)據(jù)主要集中在低值區(qū)，尤其在區(qū)間[5.2，6.2)內(nèi)最為集中，從總體上看，隨著月均用水量的增加，居民用戶數(shù)的頻率呈下降趨勢(shì)，但存在個(gè)別區(qū)間頻率變大或者缺少的現(xiàn)象。

思考四：畫(huà)頻率分布直方圖有哪幾個(gè)步驟？

1、求極差，即數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；

2、決定組距和組數(shù)，組數(shù)=極差/組距；注意：①一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多；②為方便起見(jiàn)，組距的選擇應(yīng)力求“取整”；③當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成5～12組．

3、將數(shù)據(jù)分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間，取左閉右開(kāi)區(qū)間 , 最后一組取閉區(qū)間；

4、登記頻數(shù),計(jì)算頻率和頻率／組距 , 列頻率分布表；一般分四列：分組、頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、頻率，最后一行是合計(jì)．其中頻率合計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)是1.

5、畫(huà)頻率分布直方圖。畫(huà)圖時(shí)，應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示頻率/組距．其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長(zhǎng)方形的面積．

思考五：頻率分布直方圖還有哪些特點(diǎn)？

頻率分布直方圖中：小長(zhǎng)方形的高=頻率/組距

小長(zhǎng)方形的面積表示該組的頻率。

所有小長(zhǎng)方形的面積和=1，即頻率之和為1.

思考六：根據(jù)上圖你能發(fā)現(xiàn)組數(shù)少與組數(shù)大各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

從上述分析可見(jiàn)，當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)少、組距大時(shí)，容易從中看出數(shù)據(jù)整體的分布特點(diǎn)，但由于無(wú)法看出每組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布情況，損失了較多的原始數(shù)據(jù)信息；

當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)多、組距小時(shí)，保留了較多的原始數(shù)據(jù)信息，但由于小長(zhǎng)方形較多，有時(shí)圖形會(huì)變得非常不規(guī)則，不容易從中看出總體數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)。

同時(shí)，對(duì)于同一組數(shù)據(jù)，因?yàn)榻M距、組數(shù)不同而得到不同形狀的直方圖，會(huì)給人以不同的頻率分布印象，這種印象有時(shí)會(huì)影響人們對(duì)總體的判斷。

因此，我們要注意積累數(shù)據(jù)分組、合理使用圖表的經(jīng)驗(yàn)。

例1、已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級(jí)如下表所示：

選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)，并回答下列問(wèn)題：

（1）分析該市2016年6月的空氣質(zhì)量情況；

（2）比較該市2016年5月和6月的空氣質(zhì)量，哪個(gè)月的空氣質(zhì)量較好？

（3）比較該市2016年6月與該市2015年全年的空氣質(zhì)量，2016年6月的空氣質(zhì)量是否好于去年？

解：（1）根據(jù)該市2016年6月的空氣質(zhì)量指數(shù)和空氣質(zhì)量等級(jí)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，可以畫(huà)出該市這個(gè)月的不同空氣質(zhì)量等級(jí)的頻數(shù)和頻率分布表：

從表中可以看出，“優(yōu)“”良“的天數(shù)達(dá)19天，占了整月的63.33%，沒(méi)有出現(xiàn)”重度污染“和”嚴(yán)重污染“。

我們可以用條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖對(duì)數(shù)據(jù)作出直觀的描述，如下圖所示。

從條形圖可以看

出，在前三個(gè)等級(jí)的占絕大多數(shù)，空氣質(zhì)量等級(jí)為”良“的天數(shù)最多，后三個(gè)等級(jí)的天數(shù)很少。

從扇形圖中可以看出，空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)占了總天數(shù)的一半，大約有三分之二為“優(yōu)”“良”，大多數(shù)“良”和“輕度污染”。

因此，整體上6月的空氣質(zhì)量不錯(cuò)。

我們還可以用折線圖展示空氣質(zhì)量指數(shù)隨時(shí)間的變化情況。

如下圖所示，容易發(fā)現(xiàn)，6月的空氣質(zhì)量指數(shù)在100附近波動(dòng)。

（2）根據(jù)該市2016年5月的空氣質(zhì)量指數(shù)和空氣質(zhì)量分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，可以畫(huà)出該市這個(gè)月的不同空氣質(zhì)量等級(jí)的頻數(shù)和頻率分布表

為了便于比較，我們選用復(fù)合條形圖，將兩組數(shù)據(jù)同時(shí)反映到一個(gè)條形圖上。通過(guò)條形圖中柱的高低，可以更直觀地進(jìn)行兩個(gè)月的空氣質(zhì)量的比較。

由上圖和上表發(fā)現(xiàn)，5月空氣質(zhì)量為“優(yōu)”和“良”的總天數(shù)比6月多。所以，從整體上看，5月的空氣質(zhì)量略好于6月，但5月有重度污染，而6月沒(méi)有。

（3）把2016年6月和2015年全年的空氣質(zhì)量進(jìn)行比較，由于一個(gè)月和一年的天數(shù)差別很大，所以直接通過(guò)頻數(shù)比較沒(méi)有意義，應(yīng)該轉(zhuǎn)化成頻率分布進(jìn)行比較?？梢酝ㄟ^(guò)二者的空氣質(zhì)量指數(shù)的頻率分布直方圖或空氣質(zhì)量等級(jí)的頻率分布條形圖進(jìn)行比較。

通過(guò)上圖可以看出，雖然2016年6月的空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的頻率略低于2015年，但“良”的頻率明顯高于2015年，而且2016年6月中度以上的污染天氣頻率明顯小于2015年。所以從整體上看，2016年6月的空氣質(zhì)量要好于2015年全年的空氣質(zhì)量。

小試牛刀

1、下列關(guān)于頻率分布直方圖的說(shuō)法正確的是 (D)

A.頻率分布直方圖的高表示取某數(shù)的頻率

B.頻率分布直方圖的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率

C.頻率分布直方圖的高表示取某組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻數(shù)與組距的比值

D.頻率分布直方圖的高表示取該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值

2、某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（ ）人

解：∵成績(jī)低于60分有第一、二組數(shù)據(jù)，

在頻率分布直方圖中，對(duì)應(yīng)矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20，

則成績(jī)低于60分的頻率

P=（0.005+0.010）20=0.3，

又∵低于60分的人數(shù)是15人，

則該班的學(xué)生人數(shù)是15/0.3=50人。

3、從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示：

（1）直方圖中x的值為_(kāi)_____；

（2）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100，250）內(nèi)的戶數(shù)為_(kāi)_____．

解：（1）依題意及頻率分布直方圖知，0.002450+0.003650+0.006050+x50+0.002450+0.001250=1，解得x=0.0044．

（2）樣本數(shù)據(jù)落在[100，150）內(nèi)的頻率0.003650=0.18，

樣本數(shù)據(jù)落在[150，200）內(nèi)的頻率為0.00650=0.3．

樣本數(shù)據(jù)落在[200，250）內(nèi)的頻率為0.004450=0.22，

故在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100，250）內(nèi)的戶數(shù)為（0.18+0.30+0.22）100=70．

4、如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫(huà)出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問(wèn)題：

（1）求：79.5-89.5這一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)、頻率；

（2）求：本次競(jìng)賽的及格率（60分及以上為及格）。

解：（1）頻率為：0.02510=0.25，頻數(shù)：600.25=15；

（2） 0.01510+0.0310+0.02510+0.00510=0.75。

5、調(diào)查某校高三年級(jí)男生的身高，隨機(jī)抽取40名高三男生，實(shí)測(cè)身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：

171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161

(1)作出頻率分布表；

(2)畫(huà)出頻率分布直方圖．

解：（1）第一步: 求極差:

最低身高151 cm，最高身高180 cm，它們的差是180－151＝29，即極差為29；

第二步: 決定組距與組數(shù):

當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí),按照數(shù)據(jù)的多少,常分成5-12組.

為方便組距的選擇應(yīng)力求“取整”.

本題如果組距為4, 則

所以將數(shù)據(jù)分成8組較合適.

第三步: 將數(shù)據(jù)分組：

[149.5,153.5)，[153.5,157.5)，[157.5,161.5)，[161.5,165.5)，[165.5,169.5)，[169.5,173.5)，[173.5,177.5)，[177.5,181.5)，共8組

第四步:列頻率分布表. 組距 = ４

（2）第五步: 畫(huà)出頻率分布直方圖.

知識(shí)探究（三）：總體百分位數(shù)的估計(jì)

問(wèn)題一：我們根據(jù)頻率分布直方圖得出了“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個(gè)較低值區(qū)域”等推斷。那么，如何利用這些信息，為政府決策服務(wù)呢？如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費(fèi)支出不受影響，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)的建議嗎？

根據(jù)市政府的要求確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)，要尋找一個(gè)數(shù)a，使全市居民用戶月均用水量中不超過(guò)a的占80%，大于a的占20%。下面我們通過(guò)樣本數(shù)據(jù)對(duì)a的值進(jìn)行估計(jì)。

把100個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第80個(gè)和第81個(gè)數(shù)據(jù)分別為13.6和13.8.可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間（13.6，13.8）內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分。

一般地，我們?nèi)∵@兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（13.6+13.8）/2=13.7，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)或80%分位數(shù)。

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，我們可以估計(jì)總體數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為13.7左右。

由于樣本的取值規(guī)律與總體的取值規(guī)律之間會(huì)存在偏差，而在決策問(wèn)題中，只要臨界值近似為第80百分位數(shù)即可，因此為了實(shí)際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為14t，或者把年用水量標(biāo)準(zhǔn)定為168t.一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值。

可以通過(guò)下面的步驟計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：

第一步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第二步：計(jì)算i=np%；

第三步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)位j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第i+1項(xiàng)的平均數(shù)。

我們?cè)诔踔袑W(xué)過(guò)的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù)。

在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù)。這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)。其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等。另外，像第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)，和第99百分位數(shù)在統(tǒng)計(jì)中也經(jīng)常被使用。

例2、根據(jù)下列樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)女生第25，50，75百分位數(shù)。

解：把27名女生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得：

由25%27=6.75，50%27=13.5，75%27=20.25，可知樣本數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)為第7，14，21項(xiàng)數(shù)據(jù)，分別為155.5，161，164.

據(jù)此可以估計(jì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)女生的第25，50，75百分位數(shù)分別約為155.5，161和164.

例3、根據(jù)下列圖表，估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%和95%分位數(shù)。

解：由上表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為23%+32%+13%+9%=77%

在16.2t以下的居民用戶所占比例為77%+9%=86%

因此，80%分位數(shù)一定位于[13.2，16.2)內(nèi)。

由13.2+3（0.80-0.77）/（0.86-0.77）=14.2

可以估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為14.2.

類似地，由22.2+3（0.95-0.94）/（0.98-0.94）=22.95

可以估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的95%分位數(shù)約為22.95.

小試牛刀

某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員10場(chǎng)比賽得分的原始記錄為：

甲運(yùn)動(dòng)員的得分：135123 8263816331428，乙運(yùn)動(dòng)員的得分：49241231503144361537，估計(jì)甲運(yùn)動(dòng)員第25百分位數(shù)乙運(yùn)動(dòng)員第50百分位數(shù)。

解：先將甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的得分按從小到大進(jìn)行排序：

甲：8 13 14 16 23 26 28 33 38 51

乙：12 15 24 31 31 36 37 44 49 50

由25%10=2.5，50%10=5，可知甲的第25百分位數(shù)為第3項(xiàng)數(shù)據(jù)，為14；乙的第50百分位數(shù)為第5項(xiàng)數(shù)據(jù)，為31。

學(xué)生根據(jù)初中學(xué)過(guò)的頻數(shù)分布直方圖，探究得出頻率分布直方圖的畫(huà)法。

學(xué)生分組合作思考相關(guān)的問(wèn)題，探究得出畫(huà)頻率分布直方圖的步驟以及特別注意的方面。

利用例題，讓學(xué)生對(duì)利用頻率分布直方圖估計(jì)總體進(jìn)一步進(jìn)行探索。

學(xué)生和教師共同探究完成5個(gè)練習(xí)題。

根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)總體，從而給出合適的建議和意見(jiàn)。

利用初中知識(shí)探究得出頻率分布直方圖的畫(huà)法,培養(yǎng)學(xué)生探索的精神.

通過(guò)分組合作交流，培養(yǎng)學(xué)生合作的精神和探索的能力。

利用例題讓學(xué)生探究本節(jié)課的問(wèn)題，讓學(xué)生形成知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生整體思考的能力。

通過(guò)這5個(gè)題，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)的探索精神。

引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題要結(jié)合實(shí)際，知識(shí)來(lái)源于生活，又反饋于生活。