函數(shù)的零點與方程的解教學(xué)設(shè)計（2）

本章通過學(xué)習(xí)用二分法求方程近似解的的方法，使學(xué)生體會函數(shù)與方程之間的關(guān)系，通過一些函數(shù)模型的實例，讓學(xué)生感受建立函數(shù)模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，進一步認識到函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，能初步運用函數(shù)思想解決一些生活中的簡單問題。

課程目標(biāo)

1.了解函數(shù)的零點、方程的根與圖象交點三者之間的聯(lián)系.

2.會借助零點存在性定理判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間.

3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點個數(shù)．

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)零點的概念；

2.邏輯推理：借助圖像判斷零點個數(shù)；

3.數(shù)學(xué)運算：求函數(shù)零點或零點所在區(qū)間；

4.數(shù)學(xué)建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的思想總結(jié)函數(shù)零點概念.

重點：零點的概念，及零點與方程根的聯(lián)系；

難點：零點的概念的形成．

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、 情景導(dǎo)入

①方程的解為 ，函數(shù)的圖象與x軸有 個交點，坐標(biāo)為 .

②方程的解為，函數(shù)的圖象與x軸有 個交點，坐標(biāo)為 .

③ 方程的解為，函數(shù)的圖象與x軸有 個交點，坐標(biāo)為 .

根據(jù)以上結(jié)論，可以得到：

一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸交點的 .

你能將結(jié)論進一步推廣到嗎？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本142-143頁，思考并完成以下問題

1. 函數(shù)零點的定義是什么？

2. 函數(shù)零點存在性定理要具備哪兩個條件？

3.方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點、函數(shù)的零點三者之間的聯(lián)系是什么?

要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．函數(shù)的零點

對于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．

[點睛] 函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)，當(dāng)自變量取該值時，其函數(shù)值等于零．

2．方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系

方程f(x)＝0有實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．

3．函數(shù)零點的存在性定理

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0.那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．

[點睛] 定理要求具備兩條：①函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f(a)f(b)＜0.

四、典例分析、舉一反三

題型一 求函數(shù)的零點

例1 判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出．

(1)f (x)＝；(2)f (x)＝x2＋2x＋4；

(3)f (x)＝2x－3；(4) f (x)＝1－log3x.

【答案】（1）-3（2）不存在（3）log23（4）3．

【解析】 (1)令＝0，解得x＝－3，所以函數(shù)f(x)＝的零點是－3.

(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－414＝－12<0，

所以方程x2＋2x＋4＝0無實數(shù)根，

所以函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋4不存在零點．

(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.

所以函數(shù)f(x)＝2x－3的零點是log23.

(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，

所以函數(shù)f(x)＝1－log3x的零點是3.

解題技巧：（函數(shù)零點的求法）

求函數(shù)的零點通常有兩種方法:一是代數(shù)法,令f(x)=0,通過求方程f(x)=0的根求得函數(shù)的零點;二是幾何法,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點.

跟蹤訓(xùn)練一

1．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)的零點為( )

A.，0 B．－2,0

C. D．0

【答案】D

【解析】當(dāng)x≤1時，令2x－1＝0，得x＝0.當(dāng)x＞1時，令1＋log2x＝0，得x＝，此時無解．綜上所述，函數(shù)零點為0.

題型二 判斷函數(shù)零點所在區(qū)間

例2函數(shù)f(x)＝ln x－的零點所在的大致區(qū)間是

A．(1,2) B．(2,3)

C．(3,4) D．(e，＋∞)

【答案】B

【解析】 ∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，∴在(1,2)內(nèi)f(x)無零點，A錯；

又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)內(nèi)有零點．

解題技巧：（判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的3個步驟）

(1)代入：將區(qū)間端點值代入函數(shù)求出函數(shù)的值．

(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進行符號判斷．

(3)結(jié)論：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點，若符號為負且函數(shù)

連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點．

跟蹤訓(xùn)練二

1.若函數(shù)f(x)＝x＋(a∈R)在區(qū)間(1,2)上有零點，則a的值可能是( )

A．－2 B．0 C．1 D．3

【答案】A

【解析】f(x)＝x＋(a∈R)的圖象在(1,2)上是連續(xù)不斷的，逐個選項代入驗證，當(dāng)a＝－2時，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點，同理，其他選項不符合，選A.

題型三 判斷函數(shù)零點的個數(shù)

例3判斷函數(shù)f(x)＝ln x＋x2－3的零點的個數(shù)．

【答案】有一個零點

【解析】[法一 圖象法]

函數(shù)對應(yīng)的方程為lnx＋x2－3＝0，所以原函數(shù)零點的個數(shù)即為

函數(shù)y＝ln x與y＝3－x2的圖象交點個數(shù)．

在同一坐標(biāo)系下，作出兩函數(shù)的圖象(如圖)．

由圖象知，函數(shù)y＝3－x2與y＝ln x的圖象只有一個交點，從而ln x＋x2－3＝0有一個根，

即函數(shù)y＝ln x＋x2－3有一個零點．

[法二 判定定理法]

由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，

f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，

∴f(1)f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的圖象在(1,2)上是不間斷的，所以f(x)在(1,2)上必有零點，

又f(x)在(0，＋∞)上是遞增的，所以零點只有一個．

解題技巧：（判斷函數(shù)存在零點的3種方法）

(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判斷解的個數(shù)，可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存在零點或判斷零點的個數(shù)．