函數(shù)模型的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)（1）

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1本（A版）》的第五章的4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用。函數(shù)模型及其應(yīng)用是中學(xué)重要內(nèi)容之一，又是數(shù)學(xué)與生活實(shí)踐相互銜接的樞紐，特別在應(yīng)用意識(shí)日益加深的今天，函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)質(zhì)是揭示了客觀世界中量的相互依存有互有制約的關(guān)系，因而函數(shù)模型的應(yīng)用舉例有著不可替代的重要位置，又有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

課件教案

本節(jié)課要求學(xué)生利用給定的函數(shù)模型或建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題，并對(duì)給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評(píng)價(jià),發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

1.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題．

2.了解擬合函數(shù)模型并解決實(shí)際問題．

3.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)模型的作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)據(jù)分析的能力．

a.數(shù)學(xué)抽象：由實(shí)際問題建立函數(shù)模型；

b.邏輯推理：選擇合適的函數(shù)模型；

c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題；

d.直觀想象：運(yùn)用函數(shù)圖像分析問題；

e.數(shù)學(xué)建模：由實(shí)際問題建立函模型；

f.數(shù)據(jù)分析：通過數(shù)據(jù)分析對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型；

教學(xué)重點(diǎn)：利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題．

教學(xué)難點(diǎn)：利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題，并對(duì)給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評(píng)價(jià)．

多媒體

教學(xué)過程

設(shè)計(jì)意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

1．常見函數(shù)模型

常用函數(shù)模型	(1)一次函數(shù)模型	y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)
	(2)二次函數(shù)模擬	y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
	(3)指數(shù)函數(shù)模型	y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)
	(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型	y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)
	(5)冪函數(shù)模型	y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)

2.建立函數(shù)模型解決問題的基本過程

（二）問題探究

我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來刻畫．面臨一個(gè)實(shí)際問題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？

典例解析

例3.人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題．認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù) ．早在 1978 年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（ T.R.Malthas ，1766 — 1834）就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型，其中 t 表示經(jīng)過的時(shí)間，表示 t＝０時(shí)的人口數(shù) ， r 表示人口的年平均增長率．下表是 1950～1959 年我國的人口數(shù)據(jù)資料

（1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時(shí)期的人口增長率（精確到 0.0001），

用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時(shí)期的具體人口增長模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)

際人口數(shù)據(jù)是否相符；

（2）如果按上表的增長趨勢(shì) ，那么大約在哪一年我國的人口數(shù)達(dá)到 13 億？

分析：用馬爾薩斯人口增長模型建立具體人口增長模型，就是要確定其中的初始量

和年平均增長率 r．

解：（ 1）設(shè)1951～1959 年我國各年的人口增長率分別為，… ．由

可得 1951年的人口增長率 ≈0.0200．

同理可得， ≈0.0210, ≈0.0229 , ≈0.0250, ≈0.0197 ，≈0.0223，≈0.0276,≈0.0222,≈0.0154．

于是， 1951～1959 年期間，我國人口的年平均增長率為:令 =55196，則我國在 1950～1959年期間的人口增長模型為，t ∈N．

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并畫出函數(shù) （t ∈N ）

的圖象由圖可以看出，所得模型與 1950～1959 年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合．

事實(shí)上，我國 1989年的人口數(shù)為 11.27億，直到 2005年才突破13 億．對(duì)由

函數(shù)模型所得的結(jié)果與實(shí)際情況不符，你有何看法？

因?yàn)槿丝诨鶖?shù)較大，人口增長過快，與我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)生了較大矛盾，所以我國從２０世紀(jì) ７０年代逐步實(shí)施了計(jì)劃生育政策．因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了依模型得到的結(jié)果

與實(shí)際不符的情況．

例4. 2010年 ,考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進(jìn)行碳 14年代學(xué)檢測(cè) ，檢測(cè)出碳 14的殘留量約為初始量的 55.2％，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？

分析：因?yàn)樗劳錾餀C(jī)體內(nèi)碳１４的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數(shù)衰減，所以應(yīng)選擇函數(shù)（ ∈R ，且 ≠０；＞０，且 ≠１）建立數(shù)學(xué)模型．

解：設(shè)樣本中碳１４的初始量為，衰減率為（ 0＜＜1），經(jīng)過年后殘余量為．根據(jù)問題的實(shí)際意義，

可選擇如下模型：（∈R ，且 ≠０；０＜＜１；≥０）．由碳１４的半衰期為 5730年，得=,于是，所以

由樣本中碳14 的殘余量約為初始量的 55.2％可知，即 0.552k ,解得．由計(jì)算工具得 ≈4912．

因?yàn)?2010年之前的 4912年是公元前 2902年，

所以推斷此水壩大概是公元前 2902年建成的．

歸納總結(jié)

[規(guī)律方法] 已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題，往往給出的函數(shù)解析式含有參數(shù)，需要將題中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型，求得函數(shù)模型中的參數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式求函數(shù)值或自變量的值?

典例解析

例5.假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：

方案一：每天回報(bào)40元；

方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；

方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．

請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？

① 問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？

投資天數(shù)、回報(bào)金額

② 如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？

分析：我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)

解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù) y ＝40 進(jìn)行描述；

方案二可以用函數(shù) y ＝10x進(jìn)行描述；

方案三可以用函數(shù)

進(jìn)行描述．三個(gè)模型中，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù) ，后兩個(gè)都是增函數(shù) ．

要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長情況進(jìn)行分析．

我們先用信息技術(shù)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長情況

三種方案每天回報(bào)表

方案一的函數(shù)是常數(shù)函

數(shù) ，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù) ，但方案三的函數(shù)與

方案二的函數(shù)的增長情況很不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第１天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25

倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是 “ 指數(shù)增長 ”，

其 “ 增長量 ” 是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個(gè)方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的．從每天所得回報(bào)看，

在第１～３天，方案一最多；

在第４天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；

在第５～８天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個(gè)方

案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過2億元．

下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù) ．通過信息技術(shù)列表如下

投資1~6天，應(yīng)選擇方案一；

投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；

投資8~10天，應(yīng)選擇方案二；

投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三。

假如某公司每天給你投資1萬元，共投資30天。公司要求你給他的回報(bào)是：第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天，你認(rèn)為這樣的交易對(duì)你有利嗎？

解答如下：公司30天內(nèi)為你的總投資為: 30萬元

你30天內(nèi)給公司的回報(bào)為:0.01+0.012+0.0122+…+0.01229=10737418.23≈1074(萬元)

上述例子只是一種假想情況，但從中可以看到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異

例6. 某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y (單位：萬元)隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x,

其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？

①例6涉及了哪幾類函數(shù)模型？

一次函數(shù)，對(duì)數(shù)型函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。

②你能用數(shù)學(xué)語言描述符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案的條件嗎?

分析：本例提供了三個(gè)不同增長方式的獎(jiǎng)勵(lì)模型，按要求選擇其中一個(gè)函數(shù)作為刻畫

獎(jiǎng)金總數(shù)與銷售利潤的關(guān)系．由于公司總的利潤目標(biāo)為 1000萬元，所以銷售人員的銷售利潤一般不會(huì)超過公司總的利潤．于是，只需在區(qū)間［10 ，1000 ］上，尋找并驗(yàn)證所選函數(shù)是否滿足兩條要求：第一，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過５萬元，即最大值不大于５；

第二，獎(jiǎng)金不超過利潤的２５％，即 Y≤0.25X ．不妨先畫出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)圖象，得到初步的結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果．

解：借助信息技術(shù)畫出函數(shù) y ＝５， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x 的圖象．觀察圖象發(fā)現(xiàn) ，在區(qū)間［ 10， 1000］上，模型 y=0.25x, y=1.002x的圖象都有一部分在直線 y ＝５的上方，只有模型 y=log7x+1的圖象始終在 y＝５的下方，這說明只有按模型 y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求．

下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷．

先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過５萬元．

對(duì)于模型 y ＝0.25x，它在區(qū)間［ 10，1000 ］上單調(diào)遞增，

而且當(dāng) x ＝２０時(shí) ， y ＝５，

因此，當(dāng) x ＞２０時(shí) ， y ＞５，所以該模型不符合要求；

對(duì)于模型, y=1.002x ，由函數(shù)圖象，

并利用信息技術(shù) ，可知在區(qū)間（805 ，806 ）

內(nèi)有一個(gè)點(diǎn) 滿足＝５，由于它在區(qū)間［10 ，1000 ］上單調(diào)遞增，

因此當(dāng) x＞時(shí) ， y ＞５，所以該模型也不符合要求；

對(duì)于模型 y=log7x+1，它在區(qū)間［10 ，1000 ］上單調(diào)遞增，而且當(dāng) x＝1000 時(shí) ，y=log71000+1≈4.55＜５，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過５萬元的要求．

再計(jì)算按模型 y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí) ，獎(jiǎng)金是否不超過利潤的25％，

即當(dāng) x ∈［10 ，1000 ］時(shí) ，是否有 y ≤0.25x，