二次根式及其化簡(jiǎn)教案

重點(diǎn)難點(diǎn)提示

本單元重點(diǎn)是二次根式的重要性質(zhì)：，它是二次根式化簡(jiǎn)和運(yùn)算的重要依據(jù)。

1．二次根式的重要性質(zhì)：

要注意以下問(wèn)題：

課件教案

（1）因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)a2≥0(非負(fù)數(shù))，所以a可以取任意實(shí)數(shù)。而是表示算術(shù)根，所以（非負(fù)數(shù)），即，可用絕對(duì)值的定義和性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)。去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，首先要判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式的值的符號(hào)。若無(wú)法決定，要對(duì)其進(jìn)行討論。

（2）應(yīng)用公式化簡(jiǎn)時(shí)，為保證結(jié)果的非負(fù)性，也避免出現(xiàn)運(yùn)算上的錯(cuò)誤，應(yīng)首先寫(xiě)成的形式，然后再去絕對(duì)值符號(hào)。

2．的區(qū)別

（1）a的取值范圍不同：中的a必須是非負(fù)數(shù)。

中的a可以是任何實(shí)數(shù)。

（2）運(yùn)算順序不同，表示對(duì)非負(fù)數(shù)a先開(kāi)方，再平方。而表示對(duì)實(shí)數(shù)a先平方，再開(kāi)方。

知識(shí)點(diǎn)精析

例1．判斷下列各式是否正確

(1)(2)

(3)(4)

(5)

解：根據(jù)二次根式知，(1),(2),(3)都是錯(cuò)的，只有(4),(5)是對(duì)的。

例2．化簡(jiǎn)

(1)(2)(-1

(3)(0

解：(1)∵x2+1>0,∴

(2)∵-10,x-8<0.

∴

=|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7.

(3)∵0

∴.

(4)==|x-4|+|x-3|

當(dāng)x≥4時(shí)，原式=x-4+x-3=2x-7.

當(dāng)3≤x<4時(shí)，原式=4-x+x-3=1.

當(dāng)x<3時(shí)，原式=4-x-x+3=7-2x。

∴原式=

說(shuō)明：對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，首先應(yīng)根據(jù)算術(shù)根的定義寫(xiě)成絕對(duì)值的形式。而正確去掉絕對(duì)值符號(hào)是化簡(jiǎn)的關(guān)鍵。去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)應(yīng)首先判定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式值的符號(hào)。此類(lèi)問(wèn)題，一般可分為兩類(lèi)。第一類(lèi)是不需要討論直接化簡(jiǎn)。屬于此類(lèi)問(wèn)題一般有以下三種情況①具體數(shù)字，此時(shí)化簡(jiǎn)的條件已暗中給定，②恒為非負(fù)值或根據(jù)題中的隱含條件，如（1）小題。③給出明確的條件，如（2）小題。第二類(lèi)，需討論后再化簡(jiǎn)。當(dāng)題目中給定的條件不能判定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式值的符號(hào)時(shí)，則需討論后化簡(jiǎn)，如（4）小題。

例3．已知a+b=-6,ab=5，求的值。

解：∵ab=5>0,∴a,b同號(hào)，

又∵a+b=-6<0,∴a<0,b<0

∴.

說(shuō)明：此題中的隱含條件a<0,b<0不能忽視。否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例4．化簡(jiǎn)：

解：原式=|x-6|-|1+2x|+|x+5|

令x-6=0，得x=6，令1+2x=0，得，

令x+5=0，得x=-5.