三角函數(shù)的應(yīng)用教案

教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點

1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用.

2.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明.

(二)能力訓(xùn)練要求

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.

(三)情感與價值觀要求

1.在經(jīng)歷弄清實際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨立思考問題的習(xí)慣和克服困難的勇氣.

2.選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望.

教具重點

1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.

2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.

教學(xué)難點

根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖.

教學(xué)方法

探索——發(fā)現(xiàn)法

教具準(zhǔn)備

多媒體演示

教學(xué)過程

Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

[師]直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.

下面我們就來看一個問題(多媒體演示).

海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流.

下面就請同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識解決此問題.(板書：船有觸礁的危險嗎)

Ⅱ.講授新課

[師]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的?

[生]應(yīng)該是“上北下南，左西右東”.

[師]請同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的.

[生]首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25處.示意圖如下.

[師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定?

[生]根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據(jù)題意，計算出AD的長度，然后與10海里比較.

[師]這位同學(xué)分析得很好，能將實際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.下面我們就來看AD如何求.根據(jù)題意，有哪些已知條件呢?

[生]已知BC＝20海里，∠BAD＝55，∠CAD＝25.

[師]在示意圖中，有兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個三角形中求出AD呢?

[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25，不能求AD.

[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55，雖然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD.

[師]那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個更高的角度考慮?

[生]我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系.

[師]有何聯(lián)系呢?

[生]在Rt△ABD中，tan55＝，BD=ADtan55；在Rt△ACD中，tan25＝，CD＝ADtan25.

[生]利用BC＝BD-CD就可以列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan55-ADtan25＝20.

[師]太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙.其實，在解決數(shù)學(xué)問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一.

下面我們一起完整地將這個題做完.

[師生共析]解：過A作BC的垂線，交BC于點D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=AD

tan55，CD＝ADtan25，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得

ADtan55-ADtan25＝20.

AD(tan55-tan25)＝20，

AD=≈20.79(海里).

這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險.

[師]接下來，我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度.

多媒體演示

想一想你會更聰明：

如圖，小明想測量塔

CD的高度.他在A處

仰望塔頂，測得仰角

為30，再往塔的方

向前進(jìn)50m至B處.測得仰角為60.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到1 m)

[師]我想請一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個圖中，30的仰角、60的仰角分別指哪兩個角?

[生]當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30的仰角指∠DAC，60的仰角指∠DBC.

[師]很好!請同學(xué)們獨立思考解決這個問題的思路，然后回答.

(教師留給學(xué)生充分的思考時間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo))

[生]首先，我們可以注意到CD是兩個直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊，在Rt△ADC中，tan30=，

即AC＝在Rt△BDC中，tan60=,

即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50 m，得

-=50.

解得CD≈43(m)，

即塔CD的高度約為43m.

[生]我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD的高度時應(yīng)考慮小明的身高.

[師]這位同學(xué)能根據(jù)實際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實際測量時.的確應(yīng)該考慮小明的身高，更準(zhǔn)確一點應(yīng)考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離.

如果設(shè)小明測量時，眼睛離地面的距離為1.6 m，其他數(shù)據(jù)不變，此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎?

[生]示意圖如

右圖所示，由前面的

解答過程可知CC′≈

43 m，則CD＝43+

1.6＝44.6 m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6 m.

[師]同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個樓梯改造工程問題，想請同學(xué)們幫忙解決一下.

多媒體演示：

某商場準(zhǔn)備改善原來

樓梯的安全性能，把

傾角由40減至35，

已知原樓梯長為4 m，

調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.0l m)

請同學(xué)們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，(先獨立完成，然后相互交流，討論各自的想法)

[生]在這個問題

中，要注意調(diào)整前后

的梯樓的高度是一個

不變量.根據(jù)題意可

畫㈩示意圖(如右

圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調(diào)整后的樓梯的長度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.∠ACB是原樓梯的傾角，∠ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即為：

如圖，AB⊥DB，∠ACB＝40，∠ADB＝35，AC＝4m.求AD-AC及DC的長度.

[師]這位同學(xué)把這個實際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式.我相信同學(xué)們一定能用計算器輔助很快地解決它，開始吧!

[生]解：由條件可知，在Rt△ABC中,sin40＝，即AB＝4sin40m，原樓梯占地

長BC＝4cos40m.

調(diào)整后,在Rt△ADB中，sin35＝，則AD＝m.樓梯占地長

DB=m.

∴調(diào)整后樓梯加長AD-AC＝-4≈0.48(m)，樓梯比原來多占DC＝DB-BC= -4cos40≈0.61(m).

Ⅲ.隨堂練習(xí)

1.如圖，一燈柱AB被

一鋼纜CD固定，CD與地面

成40夾角，且DB＝5 m，

現(xiàn)再在C點上方2m處加固

另一條鋼纜ED，那么鋼纜

ED的長度為多少?

解：在Rt△CBD中，∠CDB=40，DB=5 m，sin40= ，BC=DBsin40=5sin40(m).

在Rt△EDB中，DB=5 m，

BE=BC+EC＝2+5sin40(m).

根據(jù)勾股定理，得DE=≈7.96(m).

所以鋼纜ED的長度為7.96m.