黃金分割教案

教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.知道黃金分割的定義.

2.會(huì)找一條線段的黃金分割點(diǎn).

3.會(huì)判斷某一點(diǎn)是否為一條線段的黃金分割點(diǎn).

課件教案

（二）能力訓(xùn)練要求

通過(guò)找一條線段的黃金分割點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的理解與動(dòng)手能力.

（三）情感與價(jià)值觀要求

理解黃金分割的意義，并能動(dòng)手找到和制作黃金分割點(diǎn)和圖形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系對(duì)人類歷史發(fā)展的作用.

教學(xué)重點(diǎn)

了解黃金分割的意義，并能運(yùn)用.

教學(xué)難點(diǎn)

找黃金分割點(diǎn)和畫黃金矩形.

教學(xué)過(guò)程

Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

［師］生活中我們見到過(guò)許許多多的圖形，形態(tài)各異，美觀大方.那么這些漂亮的圖形你能畫出來(lái)嗎？比如，右圖是一個(gè)五角星圖案，如何找點(diǎn)C把AB分成兩段AC和BC，使得畫出的圖形勻稱美觀呢？本節(jié)課就研究這個(gè)問題.

Ⅱ.講授新課

［師］在五角星圖案中，大家用刻度尺分別度量線段AC、BC的長(zhǎng)度，然后計(jì)算、,它們的值相等嗎？

［生］相等.

［師］所以.

1.黃金分割的定義

一般地，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割（golden section）,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.其中≈0.618.

2. 計(jì)算黃金比.

解：由=，得∴AC2=ABBC.

設(shè)AB=1,AC=x,則BC=1- x.

∴x2=1（1－x）

∴x2+ x－1=0

解這個(gè)方程，得

x1=或x2=（不合題意，舍去），

所以，黃金比=≈0.618。

3.作一條線段的黃金分割點(diǎn).

如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：

（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=AB.

（2）連接DA，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).

［師］你知道為什么嗎？

若點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，則點(diǎn)C分線段AB所成的兩條線段AC、BC間須滿足.下面請(qǐng)大家進(jìn)行驗(yàn)證.自己有困難時(shí)可以互相交流.為了計(jì)算方便，可設(shè)AB=1.

證明：∵AB=1,AC=x,BD=AB=

∴AD=x+

在Rt△ABD中，由勾股定理，得

∴x2=1（1－x）

∴AC2=ABBC

即：

即點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，

在x2=1－x中

整理，得x2+x－1=0

古希臘時(shí)期的巴臺(tái)農(nóng)神廟（ParthenomTemple）.把它的正面放在一個(gè)矩形ABCD中，以矩形ABCD的寬AD為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD，那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，,點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)嗎？矩形ABCD的寬與長(zhǎng)的比是黃金比嗎？

［師］請(qǐng)大家互相交流.

［生］因?yàn)樗倪呅蜛EFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因?yàn)?所以,即,因此點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，矩形ABCD寬與長(zhǎng)的比是黃金比.

［師］在上面這個(gè)矩形中，寬與長(zhǎng)的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形.你學(xué)會(huì)作了嗎？

Ⅲ.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了：1.黃金分割點(diǎn)的定義及黃金比.

2.如何找一條線段的黃金分割點(diǎn)，以及會(huì)畫黃金矩形.