單調(diào)性與最大（?。┲到虒W(xué)設(shè)計(jì)（1）

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性概念；

B.掌握增（減）函數(shù)的證明與判斷；

C.能利用單調(diào)性求函數(shù)的最大（?。┲?；

D.學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；

1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)的單調(diào)性；

2.邏輯推理：證明函數(shù)的單調(diào)性；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求函數(shù)的最大（?。┲?；

4.直觀想象：由函數(shù)的圖象研究函數(shù)的單調(diào)性；

5.數(shù)學(xué)模型：由實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造合理的函數(shù)模型。

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情景引入

1. 觀察這些函數(shù)圖像，你能說(shuō)說(shuō)他們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些特征嗎？

2、它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)有什么變化規(guī)律？

二、探索新知

探究一 單調(diào)性

1、思考：如何利用函數(shù)解析式描述“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)隨著增大？”

【答案】圖象在區(qū)間 上 逐漸上升，

在內(nèi)隨著x的增大，y也增大。

對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意，當(dāng)時(shí)，都有。這是，就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù).

2、你能類似地描述在區(qū)間上是減函數(shù)嗎？

【答案】在區(qū)間內(nèi)任取，得到，

，當(dāng)時(shí)，都有。這時(shí)，我們就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是這減函數(shù).

3、思考：函數(shù)，各有怎樣的單調(diào)性 ？

單調(diào)性概念：

對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有。就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù).

對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有。就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù).

如果函數(shù) y =f(x)在區(qū)間D是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù) y =f(x)在區(qū)間D上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y =f(x)的 。

【答案】不一定，如

5、思考：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？

【答案】y=2x+3,

牛刀小試：

1、如圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)。

【答案】函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],

其中f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù)，

在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù)。

例1 根據(jù)定義，研究函數(shù) 的單調(diào)性。

【答案】解析見(jiàn)教材

結(jié)論：用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:

1.取數(shù):任取x1，x2∈D，且x1

2.作差:f(x1)－f(x2)；

3.變形:通常是因式分解和配方；

4.定號(hào):判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)；

5.結(jié)論:指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性.

例2 物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大,試用函數(shù)單調(diào)性證明之.

分析：按題意就是證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

【答案】解析見(jiàn)教材

例3 根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。

解析見(jiàn)教材

探究二 函數(shù)的最大（?。┲?/p>

1、思考：觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，圖中有個(gè)最高點(diǎn)，設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為M，則對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x，f(x)與M的大小關(guān)系如何？

【答案】f(x)< M

定義:一般地，設(shè)函數(shù)y= f (x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對(duì)于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M;

（2）存在，使得.

則M是函數(shù)y= f (x)的最大值（maximum value）

2、思考：能否仿照函數(shù)的最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值的定義呢？

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對(duì)于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;

（2）存在，使得.

那么我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值（minimun value）.

例4 菊花煙花是最壯觀的煙花之一，制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂。如果煙花距地面的高度h米與時(shí)間t秒之間的關(guān)系為

h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻?這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1米)?

例5 已知函數(shù) ，求函數(shù)的最大值與最小.

【答案】解析見(jiàn)教材

分析：由函數(shù)的圖象可知道，此函數(shù)在[2，6]上遞減。所以在區(qū)間[2，6]的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值.

解析見(jiàn)教材。

通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)的變化規(guī)律，引入本節(jié)新課。提高學(xué)生概括、推理的能力。

通過(guò)思考，觀察函數(shù)的圖象，學(xué)生歸納隨著x的變化，相應(yīng)的f(x)也隨著變化，提高學(xué)生的解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力。

通過(guò)思考，觀察函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而歸納出函數(shù)單調(diào)性的定義。提高學(xué)生分析問(wèn)題、概括能力。

通過(guò)思考，進(jìn)一步鞏固函數(shù)單調(diào)性的定義。提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

通過(guò)練習(xí)，進(jìn)一步鞏固單調(diào)性的定義，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

通過(guò)例題，教會(huì)學(xué)生利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，提高學(xué)生解決問(wèn)題能力、用分類討論解決問(wèn)題的能力。

用單調(diào)性的定義解決物理學(xué)中的玻意耳定律，提高學(xué)生的學(xué)科交融能力。

觀察函數(shù)的圖象，回答問(wèn)題，進(jìn)而歸納出函數(shù)最大值的定義，提高學(xué)生的分析問(wèn)題的能力。

讓學(xué)生仿照函數(shù)最大值的定義，類比得到函數(shù)最小值的定義，提高學(xué)生的類比推理能力。

通過(guò)實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生明白怎樣求二次函數(shù)在整個(gè)定義域上的最值以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步掌握單調(diào)性與最值的關(guān)系。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．下列函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上不是增函數(shù)的是( )

A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1

C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1

【解析】 函數(shù)y＝3－x在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．

【答案】 C

2．函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的單調(diào)減區(qū)間是( )

A．(－∞，1) B．(1，＋∞)

C．(－∞，2) D．(2，＋∞)

【解析】 易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3是圖象開(kāi)口向下的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x＝1，所以其單調(diào)減區(qū)間是(1，＋∞)．

【答案】 B

3．若函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值是( )

A．2 B．－2

C．2或－2 D．0

【解析】 由題意，a≠0，當(dāng)a>0時(shí)，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；當(dāng)a<0時(shí)，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.綜上知a＝2.

【答案】 C

4．函數(shù)y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域?yàn)? )

A．[0,3] B．[－1,0]

C．[－1，＋∞) D．[－1,3]

【解析】 ∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y取得最小值為－1，

當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)取得最大值為3，故函數(shù)的值域?yàn)閇－1,3]，故選D.

【答案】 D

5．已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1.

(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)圖象求函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上的最大值．

【解】 (1)圖象如圖所示：

(2)由圖象知，函數(shù)在[－1,1]上的最大值是3.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。