圓的標準方程教學設(shè)計

課程目標

學科素養(yǎng)

A. 會用定義推導圓的標準方程,并掌握圓的標準方程的特征.

B.能根據(jù)所給條件求圓的標準方程.

C.掌握點與圓的位置關(guān)系并能解決相關(guān)問題.

1.數(shù)學抽象：圓的標準方程

2.邏輯推理：圓的標準方程的推導

3.數(shù)學運算：根據(jù)條件求圓的標準方程

4.數(shù)學建模：圓的標準方程

教學過程

教學設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導學

《古朗月行》

唐李白

小時不識月，呼作白玉盤。

又疑瑤臺鏡，飛在青云端。

月亮,是中國人心目中的宇宙精靈,古代人們在生活中崇拜、敬畏月亮,在文學作品中也大量描寫、如果把天空看作一個平面,月亮當做一個圓，建立一個平面直角坐標系,那么圓的坐標方程如何表示?

二、探究新知

思考1 圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？

定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.

確定圓的因素：圓心和半徑

圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.

思考2 已知圓心為A(a,b),半徑為你能推導出圓的方程嗎？

|MA|＝r,由兩點間的距離公式,得＝r,

化簡可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

一、圓的標準方程

點睛：(1)當圓心在原點即A(0,0)時,方程為x2+y2=r2.

(2)當圓心在原點即A(0,0),半徑長r=1時,方程為x2+y2=1,稱為單位圓.

(3)相同的圓,建立坐標系不同時,圓心坐標不同,導致圓的方程不同,但是半徑是不變的.

1.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程是( )

A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1

解析:設(shè)圓心為(0,b),則圓的方程為x2+(y-b)2=1,

又點(1,2)在圓上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程為x2+(y-2)2=1.

答案:A

二、點與圓的位置關(guān)系

圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點P(x0,y0),設(shè)

d=|PC|=

2.點P(-2,-2)和圓x2+y2=4的位置關(guān)系是( )

A.在圓上 B.在圓外

C.在圓內(nèi) D.以上都不對

解析:將點P的坐標代入圓的方程,則(-2)2+(-2)2=8>4,故點P在圓外.

答案:B

三、典例解析

例1.求圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標準方程.

思路分析:解答本題可以先根據(jù)所給條件確定圓心和半徑,再寫方程,也可以設(shè)出方程用待定系數(shù)法求解,也可以利用幾何性質(zhì)求出圓心和半徑.

解:(方法1)設(shè)點C為圓心,

∵點C在直線:x-2y-3=0上,∴可設(shè)點C的坐標為(2a+3,a).

又∵該圓經(jīng)過A,B兩點,∴|CA|=|CB|.

∴,

解得a=-2.

∴圓心坐標為C(-1,-2),半徑r=.

故所求圓的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10.

(方法2)設(shè)所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標為(a,b),

由條件知 解得

故所求圓的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10.

(方法3)線段AB的中點為(0,-4),kAB=,

所以弦AB的垂直平分線的斜率k=-2,

所以線段AB的垂直平分線的方程為:y+4=-2x,即y=-2x-4.

故圓心是直線y=-2x-4與直線x-2y-3=0的交點,

由

即圓心為(-1,-2),圓的半徑為r=,

所以所求圓的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10.

圓的標準方程的兩種求法

(1)幾何法

它是利用圖形的幾何性質(zhì),如圓的性質(zhì)等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標準方程,從而得到圓的標準方程.

(2)待定系數(shù)法

由三個獨立條件得到三個方程,解方程組以得到圓的標準方程中三個參數(shù),從而確定圓的標準方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟是:

①設(shè)——設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2;

②列——由已知條件,建立關(guān)于a,b,r的方程組;

③解——解方程組,求出a,b,r;

④代——將a,b,r代入所設(shè)方程,得所求圓的方程.

跟蹤訓練1．已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求該三角形的外接圓的方程．

[解] 法一：設(shè)所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

因為A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)都在圓上，所以它們的坐標都滿足圓的標準方程，

于是有解得

故所求圓的標準方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

法二：因為A(0,5)，B(1,－2)，所以線段AB的中點的坐標為，直線AB的斜率kAB＝＝－7，因此線段AB的垂直平分線的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得線段BC的垂直平分線的方程是2x＋y＋5＝0.

由得圓心的坐標為(－3,1)，

又圓的半徑長r＝＝5，

故所求圓的標準方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

跟蹤訓練2 已知圓過點A(1,-2),B(-1,4),求:

(1)周長最小的圓的方程;

(2)圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程.

(1)解:當AB為直徑時,過點A、B的圓的半徑最小,從而周長最小,即

AB中點(0,1)為圓心,半徑r=|AB|=.

則圓的方程為:x2+(y-1)2=10.

(2)(方法1)AB的斜率為k=-3,則AB的垂直平分線的方程是y-1=x,即x-3y+3=0.

由即圓心坐標是C(3,2),

r=|AC|==2.

∴圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.

(方法2)待定系數(shù)法.

設(shè)圓的方程為:(x-a)2+(y-b)2=r2,

則

∴圓的方程為:(x-3)2+(y-2)2=20.

例2(1)點P(m2,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是( )

A.點P在圓內(nèi) B.點P在圓外 C.點P在圓上 D.不確定

(2)已知點M(5+1,)在圓(x-1)2+y2=26的內(nèi)部,則a的取值范圍是 .

思路分析:(1)首先根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑,然后利用P到圓心的距離和圓的半徑大小關(guān)系確定點與圓的位置關(guān)系;(2)首先確定圓心和半徑,利用圓心到點M的距離小于半徑列出不等式求解.

解析:(1)因為(m2)2+52=m4+25>24,所以點P在圓外.

(2)由題意知

解得0≤a<1.

答案:(1)B (2)[0,1)

點與圓的位置關(guān)系及其應用

點與圓的位置關(guān)系有三種:點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外.判斷點與圓的位置關(guān)系有兩種方法:一是用圓心到該點的距離與半徑比較,二是代入圓的標準方程,判斷與r2的大小關(guān)系.通過點與圓的位置關(guān)系建立方程或不等式可求參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍.

跟蹤訓練3 若點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的取值范圍是( )

A.a<-1或a>1 B.-1

解析:由題意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,故-1

答案:B

金題典例 1.若P(x，y)為圓C(x＋1)2＋y2＝上任意一點，請求出P(x，y)到原點的距離的最大值和最小值．

[提示] 原點到圓心C(－1,0)的距離d＝1，圓的半徑為，故圓上的點到坐標原點的最大距離為1＋＝，最小距離為1－＝.

2．若P(x，y)是圓C(x－3)2＋y2＝4上任意一點，請求出P(x，y)到直線x－y＋1＝0的距離的最大值和最小值．

[提示] P(x，y)是圓C上的任意一點，而圓C的半徑為2，圓心C(3,0)，圓心C到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝2，所以點P到直線x－y＋1＝0的距離的最大值為2＋2，最小值為2－2.

3. 已知x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值與最小值.

思路探究：x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，即點P(x，y)是圓上的點．而表示點(x，y)與點(－1，－1)的距離．故此題可以轉(zhuǎn)化為求圓x2＋(y＋4)2＝4上的點與點(－1，－1)的距離的最值問題．

[解] 因為點P(x，y)是圓x2＋(y＋4)2＝4上的任意一點，圓心C(0，－4)，半徑r＝2，

因此表示點A(－1，－1)與該圓上點的距離．

因為|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，

所以點A(－1，－1)在圓外．如圖所示．

而|AC|＝＝，

所以的最大值為|AC|＋r

＝＋2，

最小值為|AC|－r＝－2.

母題探究1：本例中條件不變，試求的取值范圍．

[解] 設(shè)k＝，則此式可看作是圓上一點與點(－1，－1)連線的斜率．

所以由k＝可得y＋1＝k(x＋1)，此直線與圓應相交．

圓心(0，－4)到直線的距離d≤r.

即≤2，解得k≥或k≤.

2．本例條件不變，試求圓上一點到直線x＋y＝4的最大值與最小值．

[解] 圓心(0，－4)到直線x＋y＝4的距離d＝＝＝4.

所以圓上一點到直線x＋y＝4的最大值為d＋r＝2＋4，

最小值為d－r＝4－2.

與圓有關(guān)的最值問題的求解策略

(1)本題將最值轉(zhuǎn)化為線段長度問題，從而使問題得以順利解決．充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的強大作用．

(2)涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：①k＝的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離的平方的最值問題等．

通過古詩中關(guān)于月亮的描述，引出建立圓的方程的問題，同時類比直線方程的建立過程，幫助學生通過類比建立圓的標準方程。學會聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略。讓學生進一步感悟運用坐標法研究幾何問題的方法。

通過點與圓的位置關(guān)系，體會運用代數(shù)法和幾何法解決問題的特點，發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習中掌握求圓的標準方程的基本方法，即：代數(shù)法與幾何法。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過與圓相關(guān)的最值問題的解決，提升學生數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.圓x2+y2=1的圓心到直線3x+4y-25=0的距離是( )

A.5 B.3 C.4 D.2

解析:圓心坐標為(0,0),所以圓心到直線的距離為d==5.

答案:A

2.以C(2,-3)為圓心,且過點B(5,-1)的圓的方程為( )

A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65

C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=13

解析:∵C(2,-3),B(5,-1),∴|BC|=,即圓的半徑r=,又∵圓心為C(2,-3),∴圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=13,故選D.

答案:D

3.已知點P(1,-1)在圓(x+2)2+y2=m的外部,則實數(shù)m的取值范圍是 .

解析:由題意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范圍是(0,10).答案:(0,10)

4.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點O(0,0)對稱的圓的方程為 .

解析:已知圓的圓心(-2,0)關(guān)于原點的對稱點為(2,0),半徑不變,故所求對稱圓的方程為(x-2)2+y2=5.

答案:(x-2)2+y2=5

5.求經(jīng)過點P(1,1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的方程.

[解] 法一：(待定系數(shù)法)

設(shè)圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

則有，解得

∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

法二：(幾何法)

由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為x＋y－1＝0.

∵弦的垂直平分線過圓心，

∴由得即圓心坐標為(4，－3)，

半徑r＝＝5.

∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。