切線的判定及三角形的內(nèi)切圓教案

1．掌握切線的判定定理，并會運用它進(jìn)行切線的證明；(重點)

2．能靈活選用切線的三種判定方法判定一條直線是圓的切線；(難點)

3．掌握畫三角形內(nèi)切圓的方法和三角形內(nèi)心的概念. (重點)

一、情境導(dǎo)入

下雨天，當(dāng)你轉(zhuǎn)動雨傘，你會發(fā)現(xiàn)雨傘上的水珠順著傘面的邊緣飛出．仔細(xì)觀察一下，水珠是順著什么樣的方向飛出的？這就是我們所要研究的直線與圓相切的情況．

二、合作探究

探究點一：切線的判定

【類型一】已知直線過圓上的某一個點，證明圓的切線

如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30，求證：CD是⊙O的切線．

解析：要證明CD是⊙O的切線，即證明OC⊥CD.連接OC，由AC＝CD，∠D＝30，則∠A＝∠D＝30，得到∠COD＝60，所以∠OCD＝90.

證明：連接OC，如圖，∵AC＝CD，∠D＝30，∴∠A＝∠D＝30.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30，∴∠COD＝60，∴∠OCD＝90，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切線．

方法總結(jié)：一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題

【類型二】直線與圓的公共點沒有確定時，證明圓的切線

如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M.求證：CD與⊙O相切．

解析：連接OM，過點O作ON⊥CD于點N，用正方形的性質(zhì)得出AC平分角∠BCD，再利用角平分線的性質(zhì)得出OM＝ON即可．

證明：連接OM，過點O作ON⊥CD于點N，∵⊙O與BC相切于點M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對角線AC上一點，∴OM＝ON，∴CD與⊙O相切．

方法總結(jié)：如果直線與圓的公共點沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于半徑．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題

【類型三】切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB.

(1)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；

(2)若AD＝2，AE＝6，求EC的長．

解析：(1)取BD的中點O，連接OE，如圖，由∠BED＝90，可得BD為△BDE的外接圓的直徑，點O為△BDE的外接圓的圓心，再證明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90，可得結(jié)論；(2)設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理和平行線分線段成比例定理，可求答案．

(1)證明：取BD的中點O，連接OE，如圖所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90，∴BD為△BDE的外接圓的直徑，點O為△BDE的外接圓的圓心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圓的切線；

(2)解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OD＋DA＝r＋2，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋2)2，解得r＝2.∵OE∥BC，∴＝，即＝，∴CE＝3.

方法總結(jié)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第6題

探究點二：三角形的內(nèi)切圓

【類型一】利用三角形的內(nèi)心求角的度數(shù)

如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點D、E、F分別在BC、AB、AC上．已知∠B＝50，∠C＝60，連接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()

A．40

B．55

C．65

D．70

解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180，∠B＝50，∠C＝60，∴∠A＝70.∵⊙O內(nèi)切于△ABC，切點分別為D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90，∴∠EOF＝360－∠A－∠OEA－∠OFA＝110，∴∠EDF＝∠EOF＝55.故選B.

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是理解三角形內(nèi)心的概念，求出∠EOF的度數(shù)．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第10題

【類型二】求三角形內(nèi)切圓半徑

如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，CB＝8，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r為()

A．1 B．2 C．1.5 D．2.5

解析：∵∠C＝90，AC＝6，CB＝8，∴AB＝＝10，∴△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝＝2.故選B.

方法總結(jié)：記住直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內(nèi)切圓半徑為，可以大大簡化計算．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第2題

【類型三】三角形內(nèi)心的綜合應(yīng)用

如圖①，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交邊BC于點D，交△ABC的外接圓于點E.

(1)BE與IE相等嗎？請說明理由．

(2)如圖②，連接BI，CI，CE，若∠BED＝∠CED＝60，猜想四邊形BECI是何種特殊四邊形，并證明你的猜想．

解析：(1)連接BI，根據(jù)I是△ABC的內(nèi)心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據(jù)∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE＝∠IBE，即可證出IE＝BE；(2)由三角形的內(nèi)心，得到角平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到邊相等，由等量代換得到四條邊都相等，推出四邊形是菱形．