等比數(shù)列的前n項和公式(1)教學設計

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、新知探究

國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.假定千粒麥粒的質量為40克，據(jù)查，2016--2017年度世界年度小麥產量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.

問題1：每個格子里放的麥粒數(shù)可以構成一個數(shù)列,請判斷分析這個數(shù)列是否是等比數(shù)列?并寫出這個等比數(shù)列的通項公式.

是等比數(shù)列,首項是1，公比是2，共64項. 通項公式為

問題2：請將發(fā)明者的要求表述成數(shù)學問題.

求這個等比數(shù)列的前64項的和，即：=？

問題3：如何求解該問題

回顧：等差數(shù)列的前 項和公式的推導過程.

等差數(shù)列, , 的前項和是

根據(jù)等差數(shù)列的定義=

所以

問題4：對于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加的方法進行求和呢？

在等比數(shù)列中，

所以).

對于等比數(shù)列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本質，即求和的根本目的.

問題5：求和的根本目的是什么？

思路：為了看清式子的特點，我們不妨把各項都用首項和公比來表示.

問題6：觀察①式，相鄰兩項有什么特征？怎樣把某一項變成它的后一項？

問題7：如何構造另一個式子，與原式相減后可以消除中間項？

設等比數(shù)列 的首項為，公比為，則 的前項和是

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，

即(1 =( 1)

問題8：要求出，是否可以把上式兩邊同時除以(1 ？

(1 =( 1)

當1 時，即 時，=

當1 時，即 時，=

等比數(shù)列的前n項和公式

;; na1

問題3的解決：

“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥?！来晤愅?，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”

一千顆麥粒的質量約為40g，據(jù)查，2016-2017年度世界小麥產量約為7.5億噸.

不能實現(xiàn)！

二、典例解析

例1.已知數(shù)列是等比數(shù)列

在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當條件與結論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解．在解方程組時經常用到兩式相除達到整體消元的目的．這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應用．

跟蹤訓練1. 已知等比數(shù)列{an}滿足a3＝12，a8＝，記其前n項和為Sn.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若Sn＝93，求n.

解：(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，

則解得

所以an＝a1qn－1＝48n－1.

(2)Sn＝＝＝96.

由Sn＝93，得96＝93，解得n＝5.

例3 已知等比數(shù)列的公比，前項和為.證明，，成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比.

證明:(方法一)

以國際象棋為背景，提出等比數(shù)列求和問題，激發(fā)學生探究欲望。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過問題串，層層遞進，引導學生探究等比數(shù)列的求和問題。發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。增強應用意識。

通過典型例題，加深對等比數(shù)列求和公式的理解和運用，體會等差與等比數(shù)列的內在聯(lián)系。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素

通過典型例題，加深學生對等比數(shù)列求和公式的綜合運用能力。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素

三、達標檢測

1．等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比q＝2，當Sn＝127時，n＝( )

A．8 B．7

C．6 D．5

B 解析：由Sn＝，a1＝1，q＝2.

當Sn＝127時，則127＝，解得n＝7.故選B.

2．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋S3＝0，則公比q＝( )

A．－1 B．1

C．－2 D．2

A 解析：∵a2＋S3＝a2＋(a1＋a2＋a3)＝0，

∴a1＋2a2＋a3＝a1(1＋2q＋q2)＝a1(1＋q)2＝0.

又a1≠0，∴q＝－1.故選A．

3．已知等比數(shù)列{an}的公比為－2，且Sn為其前n項和，則＝( )

A．－5 B．－3

C．5 D．3

C 解析：由題意可得：＝＝1＋(－2)2＝5，故選C．

4．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝3，S3＝9，則S4＝( )

A．12 B．－15

C．12或－15 D．12或15

C 解析：因為a1＝3，S3＝9，當q＝1時，滿足題意；故可得S4＝4a1＝12；

當q≠1時，S3＝＝9，解得q＝－2，

故S4＝＝＝－15.

綜上所述S4＝12或－15.故選C．

5．等比數(shù)列{an}中，公比為q，前n項和為Sn.

(1)若a1＝－8，a3＝－2，求S4；

(2)若S6＝315，q＝2，求a1.

解：(1)由題意可得q2＝＝＝，

所以q＝－或q＝.

當q＝－時，S4＝＝－5；

當q＝時，S4＝＝－15.

綜上所述，S4＝－15或S4＝－5.

(2)S6＝＝315，解得a1＝5.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。